Lý thuyết biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 57 và 58 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết biến đổi các biểu thức hữu tỉ

Các kiến thức cơ bản cần nắm vững:

Biểu thức hữu tỉ

Mỗi biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân , chia trên những phân thức. Ta gọi những biểu thức như thế là những biểu thức hữu tỉ.

Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức

Nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

Giá trị của phân thức

Khi làm các bài toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trước hết phải tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác \(0\). Đó chính là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định.

Bài tập biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Giải toán 8 trang 57 và 58 SGK Toán 8 tập 1:

Bài 46 trang 57 SGK Toán tập 1

a) \( \dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}\)

\( = \left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right):\left( {1 – \dfrac{1}{x}} \right)\)

\(= \dfrac{x+1}{x}:\dfrac{x-1}{x}\)

\(=\dfrac{x+1}{x}.\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}\)

b) \( \dfrac{1-\dfrac{2}{x+1}}{1-\dfrac{x^{2}-2}{x^{2}-1}}\)

\(  = \left( {1 – \dfrac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {1 – \dfrac{{{x^2} – 2}}{{{x^2} – 1}}} \right)\)

\(  = \left( {\dfrac{x+1}{{x + 1}} – \dfrac{2}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{{x^2} – 1}}{{{x^2} – 1}} – \dfrac{{{x^2} – 2}}{{{x^2} – 1}}} \right)\)

\( =\dfrac{x+1-2}{x+1}:\dfrac{x^{2}-1-(x^{2}-2)}{x^{2}-1}\)

\( =\dfrac{x-1}{x+1}:\dfrac{x^{2}-1-x^{2}+2}{x^{2}-1}\)

\(=\dfrac{x-1}{x+1}:\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}\)

\( =\dfrac{x-1}{x+1}.\dfrac{(x-1)(x+1)}{1}= (x-1)^{2}\).

Bài 47 trang 57 SGK Toán tập 1

a) Giá trị của phân thức này được xác định với điều kiện: \(2{\rm{x}} + 4 \ne 0 \Rightarrow 2{\rm{x}} \ne  – 4 \Rightarrow x \ne  – 2.\) 

Vậy điều kiện để phân thức \( \dfrac{5x}{2x+4}\) được xác định là \(x \ne  – 2\).

b) Điều kiện để phân thức xác định là:

\({x^2} – 1 \ne 0 \Rightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) \ne 0 \)

\(\Rightarrow x – 1 \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)
\(\Rightarrow x \ne 1\) và \(x \ne – 1\)

Vậy điều kiện để phân thức \( \dfrac{x-1}{x^{2}-1}\) được xác định là \(x \ne 1\) và \(x \ne -1\).

Bài 48 trang 58 SGK Toán tập 1

a) Điều kiện của \(x\) để phân thức được xác định là: \(x + 2 \ne 0 \Rightarrow x \ne  – 2.\)

b) Rút gọn phân thức: 

\(\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}= \dfrac{{{x^2} + 2.x.2 + {2^2}}}{{x + 2}} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x + 2}} = x + 2\)

c) Điều kiện \(x\ne -2\), ta có: \(\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}=x+2\) 

Để giá trị của phân thức đã cho bằng \(1\) thì:

\(x + 2 = 1 \Rightarrow x =  – 1 \) (thỏa mãn điều kiện xác định của \(x\))

Vậy \(x = -1\) thì giá trị của phân thức bằng \(1\).

d) Điều kiện \(x\ne -2\), ta có: \(\dfrac{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}{{x + 2}}=x+2\)

Để giá trị của phân thức đã cho bằng \(0\) thì:

\(x + 2 = 0 \Rightarrow x =  – 2 \) (không thỏa mãn điều kiện xác định của \(x\)).

Vậy không có giá trị nào của \(x\) để phân thức đã cho có giá trị bằng \(0.\)

Bài 49 trang 58 SGK Toán tập 1

Các ước của \(2\) là: \(1; -1; 2; -2\). Do đó, có thể chọn mẫu của phân thức cần tìm là:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)\)

(vì \(\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right) \ne 0\) \(\Rightarrow x \ne  \pm 1, \pm 2)\)

Vậy có thể chọn phân thức \( \dfrac{1}{(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)}\) hoặc \( \dfrac{2x-3}{(x^2-1)(x^2-4)}\),… (có nhiều đáp án khác nhau).

Bài tập biến đổi các biểu thức hữu tỉ. giá trị của phân thức nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp các em ôn tập và rèn luyện kiến thức đã học:

Bài 1

a) 

\(\frac{1}{2}+\left[x:\left(1-\frac{x}{x+2}\right)\right]=\frac{1}{2}+\left(x: \frac{x+2-x}{x+2}\right)\)
\(\frac{1}{2} + \frac{x(x+2)}{2} = \frac{x^2+2x+1}{2} = \frac{(x+1)^2}{2}\)

b) 

\(\left(x-\frac{1}{x^{2}}\right):\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{x^{3}-1}{x^{2}}: \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}}\)

\(=\frac{(x-1)(x^2+x+1).x^2}{x^2(x^2+x+1)} = x – 1 \)

c)

\(\left(1-\frac{2 y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right):\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=\frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{x^{2}}: \frac{y-x}{x y}\)

\(=\frac{(y-x)^2}{x^2} /times \frac{xy}{y-x} = \frac{y(y-x)}{x}\)

d)

\(\begin{aligned}\left(\frac{x}{4}-1+\frac{3}{4 x}\right):\left(\frac{x}{2}-\frac{6}{x}+\frac{1}{2}\right) &=\frac{x^{2}-4 x+3}{4 x}: \frac{x^{2}+x-12}{2 x} \\ &=\frac{x^{2}-x-3 x+3}{4 x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}-3 x+4 x-12} \\ &=\frac{(x-1)(x-3) 2 x}{4 x(x-3)(x+4)}=\frac{x-1}{2(x+4)} \end{aligned}\)

Bài 2

a)

\(\left(\frac{5 x+y}{x^{2}-5 x y}+\frac{5 x-y}{x^{2}+5 x y}\right) \cdot \frac{x^{2}-25 y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\)
\(=\left(\frac{5 x+y}{x(x-5 y)}+\frac{5 x-y}{x(x+5 y)}\right) \cdot \frac{(x-5 y)(x+5 y)}{x^{2}+y^{2}}=\)
\(=\frac{(5 x+y)(x+5 y)+(5 x-y)(x-5 y) \cdot(x-5 y)(x+5 y)}{x(x-5 y)(x+5 y)}=\frac{10\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\frac{10}{x}\)

b)

\(\frac{4 x y}{y^{2}-x^{2}}:\left(\frac{1}{x^{2}+2 x y+y^{2}}-\frac{1}{x^{2}-y^{2}}\right)=\)
\(=\frac{4 x y}{(y-x)(y+x)}:\left(\frac{1}{(x+y)^{2}}-\frac{1}{(x-y)(x+y)}\right)=\)
\(=\frac{4 x y}{(y-x)(y+x)}: \frac{x-y-x-y}{(x-y)(x+y)^{2}}=\frac{4 x y}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(x-y)(x+y)^{2}}{-2 y}=2 x(x+y)\)

c)

\(\left[\frac{1}{(2 x-y)^{2}}+\frac{2}{4 x^{2}-y^{2}}+\frac{1}{(2 x+y)^{2}}\right] \cdot \frac{4 x^{2}+4 x y+y^{2}}{16 x}=\)
\(=\frac{(2 x+y)^{2}+2\left(4 x^{2}-y^{2}\right)+(2 x-y)^{2}}{(2 x-y)^{2}(2 x+y)^{2}} \cdot \frac{(2 x+y)^{2}}{16 x}\)
\(=\frac{16 x^{2}}{16 x(2 x-y)^{2}}=\frac{x}{(2 x-y)^{2}}\)

d)

\(\left(\frac{2}{x+2}-\frac{4}{x^{2}+4 x+4}\right):\left(\frac{2}{x^{2}-4}+\frac{1}{2-x}\right)=\)
\(=\frac{2(x+2)-4}{(x+2)^{2}}: \frac{2-(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\)
\(=\frac{2 x}{(x+2)^{2}}: \frac{-x}{(x-2)(x+2)}=\frac{2 x}{(x+2)^{2}} \cdot \frac{(2-x)(2+x)}{x}=\frac{2(2-x)}{x+2}\)

Bài 3

a) \(x\) nhận mọi giá trị

b) \(x \neq -2004\)

c) \(x \neq \frac {7}{3}\)

d) \(x \neq -z\)

Bài 4

a) \( x \neq 0, x \neq \frac {2}{3} \)

b) \( 8x^3 + 12x^2 +6x +1 = (2x + 1)^3 \neq 0\) khi \(x \neq- \frac {1}{2} \)

c) \(16 -24x +9x^2 =(4-3x)^2 \neq 0 \) khi \( x \neq x = \frac{4}{3} \)

d) \( x^2 -4y^2 = (x-2y)(x+2y) \neq 0 \) khi \( x \neq \pm 2y\)

Bài 5

\(2x-2 \neq 0 \) khi \(x \neq 1 , x^2 – 2x + 1 = (x-1)^ \neq 0 \) khi \( x \neq 1, (x-1)(x^2+1) \neq 0 \) khi \(x \neq 1\). Vậy biến \(x\) trong ba phân trhuwcs này có cùng một điều kiện \(x \neq 1 \) là đúng. 

Ghi nhớ

Biểu thức phân là gì ?

Biểu thức phân là một biểu thức chỉ chứa các tính cộng, trừ, nhân, chia và chưa biến ở mẫu thức.

Biểu thức hữu tỉ là gì ?

Biểu thức hữu tỉ là Biểu thức nguyên và biểu thức phân.

Biểu thức nguyên là gì?

Biểu thức nguyên là một đa thức.

– Nhờ các quy tắc của các phép cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi một biểu thức phân thành một phân thức.

– Giá trị của biểu thức phân chỉ được xác định với điều kiện giá trị của mẫu thức khác \(0\). Biến của biểu thức phân chỉ được nhận các giá trị sao cho giá trị tương ứng của mẫu thức khác \(0\).

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao.