Lý thuyết biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai, các dạng toán tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập trang 27 SGK Toán 9 tập 1

bien doi don gian bieu thuc chua can thuc bac hai

Lý thuyết biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Các kiến thức quan trọng cần ghi nhớ:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức A, B mà \(B\geq 0\), ta có \(\sqrt{A^{2}B}=\left | A \right |\sqrt{B;}\) tức là:

Nếu \(A\geq 0\) và \(B\geq 0\) thì \(\sqrt{A^{2}B}=A\sqrt{B}\);

Nếu \(A<0\) và \(B\geq 0\) thì \(\sqrt{A^{2}B}=-A\sqrt{B}\).

Ví dụ: Với \(x\ge 0\) ta có: \(\sqrt {48{x^2}}  = \sqrt {3.16{x^2}}  \)\(= \sqrt {{{\left( {4x} \right)}^2}.3}  = 4x\sqrt 3 \) 

Đưa thừa số vào trong dấu căn

Với \(A\geq 0\) và \(B\geq 0\) thì \(A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B};\)

Với \(A<0\) và \(B\geq 0\) thì \(A\sqrt{B}=-\sqrt{A^{2}B}.\)

Ví dụ: Với \(x<0\) ta có: \(x\sqrt 3  =  – \sqrt {3{x^2}} \)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với hai biểu thức A, B mà \(AB\geq 0\) và \(B\neq 0\), ta có:

\(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt{A\cdot B}}{\left | B \right |}.\)

Ví dụ: Với \(x\ne 0\) ta có: \(\sqrt {\dfrac{{11}}{x}}  = \dfrac{{\sqrt {11.x} }}{{\left| x \right|}}\)

Trục căn thức ở mẫu 

Với hai biểu thức A, B mà \(B>0,\) ta có

\(\dfrac{A}{\sqrt{B}}=\dfrac{A\sqrt{B}}{B}.\)

Với các biểu thức A, B, C mà \(A\geq 0\) và \(A\neq B^{2}\), ta có

\(\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm B }=\dfrac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-B^{2}}.\) 

Với các biểu thức A, B, C mà \(A\geq 0\), \(B\geq 0\) và \(A\neq B\), ta có:

\(\dfrac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\dfrac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-B}.\) 

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\dfrac{3}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x\ge 0\) 

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{3}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{3\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}\\
= \dfrac{{3\sqrt x – 6}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} – 4}}\\
= \dfrac{{3\sqrt x – 6}}{{x – 4}}
\end{array}\)

5 dạng toán thường gặp

Các dạng toán biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gặp:

Dạng 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

* Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ – A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.\)

* Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) \(A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} \) với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\)

+) \(A\sqrt B  =  – \sqrt {{A^2}B} \) với \(A < 0\) và \(B \ge 0\)

Dạng 2: So sánh hai căn bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai căn bậc hai theo mối liên hệ

\(0 \le A < B \Leftrightarrow \sqrt A  < \sqrt B \)

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn và hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu

Dạng 4: Trục căn thức ở mẫu

Phương pháp:

Sử dụng các công thức

+) Với các biểu thức \(A,B\) mà \(A.B \ge 0;B \ne 0\), ta có \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)

+) Với các biểu thức \(A,B\) mà \(B > 0\), ta có \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\)

+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có \(\dfrac{C}{{\sqrt A  + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  – B} \right)}}{{A – {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A  – B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A – {B^2}}}\)

+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\) ta có

\(\dfrac{C}{{\sqrt A  – \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A – B}}\); \(\dfrac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  – \sqrt B } \right)}}{{A – B}}\)

Dạng 5: Giải phương trình

Phương pháp:

+) Tìm điều kiện

+) Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản

+) So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Giải bài tập biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Hướng dẫn giải bài tập trang 27 sách giáo khoa Toán 9 tập 1:

Bài 43 trang 27 SGK Toán 9 tập 1

Câu a: \(\sqrt{54}=\sqrt{9. 6}=\sqrt{3^2.6}=3\sqrt{6}.\)

Câu b:\(\sqrt{108}=\sqrt{36.3}=\sqrt{6^2.3}=6\sqrt{3}.\)

Câu c

\(0,1\sqrt{20000}=0,1\sqrt{10000.2}=0,1\sqrt{100^2.2}\)

\(=0,1.100\sqrt{2}=10\sqrt{2}\).

Câu d

\(-0,05\sqrt{28800}=-0,05.\sqrt{144.100.2}\)

\(=-0,05\sqrt{12^2.10^2.2}\)

\(=-0,05.12.10\sqrt{2}=-6\sqrt{2}\).

Câu e

\(\sqrt{7.63.a^{2}}=\sqrt{7.(3.21).a^2}=\sqrt{(7.3).21.a^2}\)

\(=\sqrt{21.21.a^2}=\sqrt{21^2.a^2}\)

\( =21|a|= \left\{ \begin{array}{l}
21a\,\,khi\,\,a \ge 0\\
– 21a\,\,khi\,\,a < 0
\end{array} \right.\).

Bài 44 trang 27 SGK Toán 9 tập 1

Ta có:

+)  \(3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}.\)

+)  \(-5\sqrt{2}=-\sqrt{5^2.2}=-\sqrt{25.2}=-\sqrt{50}.\)

+) Với \(xy>0\) thì \(\sqrt{xy}\) có nghĩa nên ta có:

\(-\dfrac{2}{3}\sqrt{xy}= – \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^2}.xy}=- \sqrt {\dfrac{4}{9}xy}.\)

+) Với \(x>0\) thì \(\sqrt {\dfrac{2}{x}}\) có nghĩa nên ta có:

\(x\sqrt {\dfrac{2}{x}}  = \sqrt {{x^2}.\dfrac{2}{x}} = \sqrt {\dfrac{x^2.2}{x}}\)\(  = \sqrt {\dfrac{2x.x}{x}}  = \sqrt {2x}.\)

Bài 45 trang 27 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có: 

\(3\sqrt{3}=\sqrt{3^2.3}=\sqrt{9.3}=\sqrt{27}\).

Vì \( 27>12 \Leftrightarrow \sqrt{27} > \sqrt{12}\)

                   \(\Leftrightarrow 3\sqrt{3} >\sqrt{12}\).

Vậy: \(3\sqrt{3}>\sqrt{12}\). 

Câu b

Ta có:

\(7=\sqrt{7^2}=\sqrt{49}\).

\(3\sqrt{5}=\sqrt{3^2.5}=\sqrt{9.5}=\sqrt{45}\).

Vì \(49> 45 \Leftrightarrow \sqrt {49}> \sqrt {45} \Leftrightarrow 7 >3\sqrt 5\).

Vậy: \(7>3\sqrt{5}\).

Câu c

Ta có:

 \(\dfrac{1}{3}\sqrt{51}= \sqrt {{\left(\dfrac{1}{3} \right)}^2.51 }  = \sqrt {\dfrac{1}{9}.51}  = \sqrt {\dfrac{51}{9}} \)

\(= \sqrt {\dfrac{3.17}{3.3}}  = \sqrt {\dfrac{17}{3}} \).

 \(\dfrac{1}{5}\sqrt{150}= \sqrt {{\left(\dfrac{1}{5} \right)}^2.150 }  = \sqrt {\dfrac{1}{25}.150}  = \sqrt {\dfrac{150}{25}} \) 

\(= \sqrt {\dfrac{6.25}{25}}  = \sqrt {6}=\sqrt{\dfrac{18}{3}} \).

Vì \( \dfrac{17}{3} <\dfrac{18}{3} \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{17}{3}} < \sqrt{\dfrac{18}{3}}\)

                        \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{3}\sqrt{51} <\dfrac{1}{5}\sqrt{150}\).

Vậy: \( \dfrac{1}{3}\sqrt{51} <\dfrac{1}{5}\sqrt{150}\).

Câu d

Ta có:

 \(\dfrac{1}{2}\sqrt{6}= \sqrt {{\left(\dfrac{1}{2} \right)}^2.6 }  = \sqrt {\dfrac{1}{4}.6}  = \sqrt {\dfrac{6}{4}} = \sqrt {\dfrac{2.3}{2.2}}  \)

\(= \sqrt {\dfrac{3}{2}} \).

\(6\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{6^2.\dfrac{1}{2}}=\sqrt{36.\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{36}{2}}\).

Vì \( \dfrac{3}{2}<\dfrac{36}{2} \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{3}{2}}< \sqrt{\dfrac{36}{2}}\)

                       \(\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{6} <6\sqrt{\dfrac{1}{2}}\).

Vậy: \(\dfrac{1}{2}\sqrt{6}<6\sqrt{\dfrac{1}{2}}\).

Bài 46 trang 27 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có: \(2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}+27-3\sqrt{3x}\)

         \(= (2\sqrt{3x}-4\sqrt{3x}-3\sqrt{3x})+27\)

         \(=(2-4-3)\sqrt{3x}+27\)

         \(=-5\sqrt{3x}+27\).

Câu b

Dùng phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn để có những căn thức giống nhau là \(\sqrt{2x}\).

Ta có: 

\(3\sqrt{2x}-5\sqrt{8x}+7\sqrt{18x}+28\)

\(=3\sqrt{2x}-5\sqrt{4.2x}+7\sqrt{9.2x}+28\)

\(=3\sqrt{2x}-5\sqrt{2^2.2x}+7\sqrt{3^2.2x}+28\)

\(=3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x}+28\)

\(=(3\sqrt{2x}-5.2\sqrt{2x}+7.3\sqrt{2x})+28\)

\(=(3\sqrt{2x}-10\sqrt{2x}+21\sqrt{2x})+28\)

\(= (3-10+21)\sqrt{2x}+28\)

\(=14\sqrt{2x}+28\). 

Bài 47 trang 27 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có: Vì \(x \ge 0\) và \( y\ge 0\) nên \(x+y \ge 0 \Leftrightarrow |x+y|=x+y\).

\(\dfrac{2}{x^2 – y^2}\sqrt {\dfrac{3 (x + y)^2}{2}} =\dfrac{2}{x^2 – y^2}\sqrt {\dfrac{3}{2}.(x+y)^2} \)

\(=\dfrac{2}{x^2 – y^2}.\sqrt{\dfrac{3}{2}}.\sqrt{(x+y)^2}\)

\(=\dfrac{2}{x^2 – y^2}.\sqrt{\dfrac{3}{2}}.|x+y|\)

\(=\dfrac{2}{(x+y)(x-y)}.\sqrt{\dfrac{3}{2}}.(x+y)\)  

\(=\dfrac{2}{x-y}.\sqrt{\dfrac{3}{2}}\) 

 \(=\dfrac{1}{x-y}.2.\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)  

 \(=\dfrac{1}{x-y}.\sqrt{\dfrac{2^2.3}{2}}\)  

\(=\dfrac{1}{x-y}.\sqrt{6}\)  \(=\dfrac{\sqrt 6}{x-y}\)

Câu b

Ta có:

\(\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-4a+4a^2)}\)

\(=\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-2.2a+2^2a^2)}\)

\(=\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2 [1^2-2.1.2a+(2a)^2]}\)

\(=\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-2a)^2}\)

\(=\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5}.\sqrt{a^2}.\sqrt{(1-2a)^2}\)

\(=\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5}.|a|.|1-2a|\)

Vì \(a> 0,5\) nên \(a>0 \Leftrightarrow |a| =a\).

Vì \(a> 0,5 \Leftrightarrow 2a> 2.0,5 \Leftrightarrow 2a >1 \) hay \( 1<2a\)

\(\Leftrightarrow 1-2a < 0 \Leftrightarrow |1-2a|=-(1-2a)\)

\(=-1+2a=2a-1\)

Thay vào trên, ta được: 

\(\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5}.|a|.|1-2a|=\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5}.a.(2a-1)\)\(=2a\sqrt{5}\).

Vậy \(\dfrac{2}{2a-1}\sqrt{5a^2(1-4a+4a^2)}=2a\sqrt{5}\).

Ghi nhớ

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Với hai biểu thức \(A,B\) mà \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B \), tức là

+) Nếu \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B}  = A\sqrt B \)

+) Nếu \(A < 0$\) và \(B \ge 0\) thì \(\sqrt {{A^2}B}  =  – A\sqrt B \)

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) Với \(A \ge 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}B} \)

+) Với \(A < 0\) và \(B \ge 0\) ta có \(A\sqrt B  =  – \sqrt {{A^2}B}\)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Với các biểu thức \(A,B\) mà \(A.B \ge 0;B \ne 0\), ta có \(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)

Trục căn thức ở mẫu

+) Với các biểu thức $A,B$ mà \(B > 0\), ta có \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\)

+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có \(\dfrac{C}{{\sqrt A  + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  – B} \right)}}{{A – {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A  – B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A – {B^2}}}\)

+) Với các biểu thức \(A,B,C\) mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\) ta có

\(\dfrac{C}{{\sqrt A  – \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A – B}}\); \(\dfrac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A  – \sqrt B } \right)}}{{A – B}}\)

   Trên đây là các kiến thức lý thuyết trọng tâm và giải bài tập biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc haiđược chúng tôi biên soạn. Chúc các em học tốt và luôn đạt được kết quả cao với môn toán lớp 9.