Lý thuyết căn bậc ba, các dạng toán tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập căn bậc ba trang 36 SGK Toán 9 tập 1

can bac ba

Lý thuyết căn bậc ba

Các kiến thức quan trọng cần ghi nhớ

Định nghĩa 

+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho \(x^3=a\)

+ Căn bậc ba của số a được kí hiệu là \(\root 3 \of a \)

Như vậy \({\left( {\root 3 \of a } \right)^3} = a\)

Mọi số thực đều có căn bậc ba.

Các tính chất

a) \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\)

b) \(\root 3 \of {ab}  = \root 3 \of a .\root 3 \of b \)

c) Với b ≠ 0, ta có \(\displaystyle \root 3 \of {{a \over b}}  = {{\root 3 \of a } \over {\root 3 \of b }}\)

Áp dụng 

Từ các tính chất trên, ta cũng có các quy tắc đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn bậc ba, quy tắc khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc ba và quy tắc trục căn bậc ba ở mẫu:

a) \(a\root 3 \of b  = \root 3 \of {{a^3}b} \)

b) \(\displaystyle \root 3 \of {{a \over b}}  = {{\root 3 \of {a{b^2}} } \over b}\)

c) Áp dụng hằng đẳng thức \(\left( {A \pm B} \right)\left( {{A^2} \mp  AB + {B^2}} \right) = {A^3} \pm {B^3}\), ta có:

\(\eqalign{
& \left( {\root 3 \of a \pm \root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^3}} } \right) \cr
& = {\left( {\root 3 \of a } \right)^3} \pm {\left( {\root 3 \of b } \right)^3} = a \pm b \cr} \)

Do đó

\(\eqalign{
& {M \over {\root 3 \of a \pm \root 3 \of b }} \cr
& = {{M\left( {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right)} \over {\left( {\root 3 \of a \pm \root 3 \of b } \right)\left( {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right)}} \cr
& = {{M\left( {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right)} \over {a \pm b}} \cr} \)

Các dạng toán thường gặp

3 dạng toán và phương pháp giải:

Dạng 1: Thực hiện phép tính có chứa căn bậc 3

Phương pháp:

Áp dụng công thức \({\left( {\sqrt[3]{a}} \right)^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a\)

Và các hằng đẳng thức

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\\{\left( {a – b} \right)^3} = {a^3} – 3{a^2}b + 3a{b^2} – {b^3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} – ab + {b^2}} \right)\\{a^3} – {b^3} = \left( {a – b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\end{array}\)

Dạng 2: So sánh các căn bậc ba

Phương pháp:

Sử dụng \(a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\).

Dạng 3: Giải phương trình chứa căn bậc 3

Phương pháp:

Áp dụng \(\sqrt[3]{A} = B \Leftrightarrow A = {B^3}\)

Giải bài tập căn bậc 3 lớp 9

Hướng dẫn giải bài tập trang 36 sách giáo khoa Toán 9 tập 1:

Bài 67 trang 36 SGK Toán 9 tập 1

Ta có:

+ \(\sqrt[3]{512}=\sqrt[3]{8^3}=8;\)

+ \(\sqrt[3]{-729}=\sqrt[3]{(-9)^3}=-9;\)

+ \(\sqrt[3]{0,064}=\sqrt[3]{0,4^3}=0,4;\)

+ \(\sqrt[3]{-0,216}=\sqrt[3]{(-0,6)^3}=-0,6;\)

+ \(\sqrt[3]{-0,008}=\sqrt[3]{(-0,2)^3}=-0,2.\)

Bài 68 trang 36 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

\(\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{3^3}-\sqrt[3]{(-2)^3}-\sqrt[3]{5^3}\)

\(=3-(-2)-5\)

\(=3+2-5=0\).

Câu b

\(\dfrac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{54}.\sqrt[3]{4}=\dfrac{\sqrt[3]{27.5}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{54.4}\)

\(=\dfrac{\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{216}\)

\(=\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{216}\)

\(=\sqrt[3]{3^3}-\sqrt[3]{6^3}\)

\(=3-6=-3\).

Bài 69 trang 36 SGK Toán 9 tập 1

a) Ta có: \(5=\root 3 \of {5^3}=\root 3 \of {125}\)

Vì \(125 > 123 \Leftrightarrow \root 3 \of {125}  > \root 3 \of {123} \)   

                        \( \Leftrightarrow5 > \root 3 \of {123}\)

Vậy \(5 > \root 3 \of {123} \). 

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
+ )\,5\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{{5^3}.6}} = \sqrt[3]{{125.6}} = \sqrt[3]{{750}}\\
+ )\,6\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{{{6^3}.5}} = \sqrt[3]{{216.5}} = \sqrt[3]{{1080}}
\end{array}\)

Vì \(750 < 1080 \Leftrightarrow \root 3 \of {750}  < \root 3 \of {1080} \)

                          \(\Leftrightarrow 5\root 3 \of 6 < 6\root 3 \of 5\).

Vậy \(5\root 3 \of 6 < 6\root 3 \of 5\).

   Trên đây là các kiến thức lý thuyết trọng tâm và giải bài tập căn bậc ba được chúng tôi biên soạn. Chúc các em học tốt và luôn đạt được kết quả cao với môn toán lớp 9.