Lý thuyết căn bậc 2 và các dạng bài tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập căn bậc hai trang 6 SGK Toán 9 tập 1

ly thuyet va giai bai tap can bac hai

Lý thuyết căn bậc hai

Các kiến thức trọng tâm cần ghi nhớ

Căn bậc hai số học

Nhắc lại 

Ở lớp 7, ta đã biết:

+ Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho \({x^{2\;}} = a.\)

+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau  là \(\sqrt a \)  và \( – \sqrt a \)

+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết \(\sqrt 0  = 0.\)

Ví dụ: Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và -3

Định nghĩa

Với  số dương \(a,\) số \(\sqrt a \)  được gọi là căn bậc hai số học của \(a.\)

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Ví dụ: Căn bậc hai số học của số 9 là \(\sqrt 9=3\)

Chú ý.:

Với \(a \ge 0,\) ta có:

+ Nếu \(x = \sqrt a \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)

+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)  thì \(x = \sqrt a .\)

Ta viết \(x = \sqrt a  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)

So sánh các căn bậc hai số học 

Định lí

Với hai số \(a;b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \) 

Ví dụ: So sánh 3 và \(\sqrt 7\) 

Ta có: \(3 = \sqrt 9 \) mà \(9 > 7\) suy ra \(\sqrt 9  > \sqrt 7 \) hay \(3 > \sqrt 7 \)

Các dạng toán căn bậc 2 lớp 9 thường gặp

Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \).

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc 2

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức  \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ – A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp:

– Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức  (thông thường là \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a – b} \right)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\))

– Sử dụng hằng đẳng thức  \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ – A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.\)

Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0.$

Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc 2

Phương pháp:

Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:

\(\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ;                                         \(\sqrt {{A^2}}  = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)

\(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { \vee B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ;                      \(\sqrt {{A^2}}  = \sqrt {{B^2}}  \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A =  \pm B\)

   Trên đây là lý thuyết và các dạng toán về Căn bậc 2 thường gặp. Ở nội dung tiếp theo, chúng tôi sẽ lần lượt hướng dẫn giải  bài tập sách khoa Toán 9 tập 1.

Giải toán 9 trang 6: Bài tập căn bậc 2

Hướng dẫn và đáp án các bài tập 1, 2,3  trang 6 và bài 4, 5 trang 7 SGK Toán 9 tập 1:

Bài 1 trang 6 sgk toán 9 tập 1

Ta có:

+ \(\sqrt{121}\) có căn bậc hai số học là \(11\) (vì \(11>0\) và \(11^2=121\) )

             \(\Rightarrow 121\) có hai căn bậc hai là \(11\) và \(-11\).

+ \(\sqrt{144}\) có căn bậc hai số học là \(12\) (vì \(12>0\) và \(12^2=144\) )

             \(\Rightarrow 144\) có hai căn bậc hai là \(12\) và \(-12\).

+ \(\sqrt{169}\) có căn bậc hai số học là \(13\) (vì \(13>0\) và \(13^2=169\) )

             \(\Rightarrow 169\) có hai căn bậc hai là \(13\) và \(-13\).

+ \(\sqrt{225}\) có căn bậc hai số học là \(15\) (vì \(15>0\) và \(15^2=225\) )

            \(\Rightarrow 225\) có hai căn bậc hai là \(15\) và \(-15\).

+ \(\sqrt{256}\) có căn bậc hai số học là \(16\) (vì \(16>0\) và \(16^2=256\) )

           \(\Rightarrow 256\) có hai căn bậc hai là \(16\) và \(-16\).

+ \(\sqrt{324}\) có căn bậc hai số học là \(18\) (vì \(18>0\) và \(18^2=324\) )

            \(\Rightarrow 324 \) có hai căn bậc hai là \(18\) và \(-18\).

+ \(\sqrt{361}\) có căn bậc hai số học là \(19\) (vì \(19>0\) và \(19^2=361\) )

            \(\Rightarrow 361\) có hai căn bậc hai là \(19\) và \(-19\).

+ \(\sqrt{400}\) có căn bậc hai số học là \(20\) (vì \(20>0\) và \(20^2=400\) )

             \(\Rightarrow 400 \) có hai căn bậc hai là \(20\) và \(-20\).

Bài 2 trang 6 sgk toán 9 tập 1

a. Ta có:  \(2=\sqrt 4\)

Vì \(4>3 \Leftrightarrow  \sqrt{4}>\sqrt{3} \Leftrightarrow 2>\sqrt{3}\).

Vậy \(2>\sqrt{3}\).

b. Ta có:  \(6=\sqrt {36}\)

Vì \(36< 41 \Leftrightarrow \sqrt{36} < \sqrt{41} \Leftrightarrow 6 < \sqrt {41}\)

Vậy \(6<\sqrt{41}\). 

c. Ta có:  \(7=\sqrt {49}\)

Vì \(49>47 \Leftrightarrow  \sqrt{49}>\sqrt{47} \Leftrightarrow 7>\sqrt{47}\).

Vậy \(7>\sqrt{47}\). 

Bài 3 trang 6 sgk toán 9 tập 1

a. Ta có: \({x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

Bấm máy tính ta được:

\(x\approx  \pm 1,414\)

b. Ta có: \({x^2} = 3 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 3 \)

Tính bằng máy tính ta được:

\( x \approx  \pm 1,732\)

c. Ta có: \({x^2} = 3,5 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {3,5} \)

Tính bằng máy tính ta được:

\(x \approx  \pm 1,871\) 

d.  Ta có: \({x^2} = 4,12 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {4,12} \)

Tính bằng máy tính ta được:

\(x \approx  \pm 2,030\)

Bài 4 trang 7 sgk toán 9 tập 1

a. Vì \(x\ge 0\) nên 

\(\sqrt x = 15 \Rightarrow \left( {\sqrt x } \right)^2 = {\left( {15} \right)^2}\) \(\Leftrightarrow x = 225\)

Vậy \(x=225.\)

b. Vì \(x\ge 0\) nên 

\(2\sqrt x = 14 \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \)

\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt x } \right)^2 = { 7 ^2} \) \(\Leftrightarrow x = 49\)

Vậy \(x=49\)

c. \(\sqrt x < \sqrt 2 \Leftrightarrow x<2\) 

Kết hợp với \(x\ge 0\) ta có \( 0 \le x < 2\)

Vậy \( 0 \le x < 2\) 

d. Với \(x\ge 0\) ta có \(\sqrt {2x} < 4\) \(\Leftrightarrow \sqrt {2x} < \sqrt {16}\)

\(\Leftrightarrow 2x < 16\) \(\Leftrightarrow x<8\) 

Kết hợp điều kiện \(x\ge 0\) ta có: \( 0 \le x < 8\)

Bài 5 trang 7 sgk toán 9 tập 1

Gọi \(x\) (m) là độ dài hình vuông, \(x > 0\) .

Diện tích của hình vuông là: \(x^2 \, (m^2)\)

Diện tích của hình chữ nhật là: \(3,5.14 = 49\) \(m^2\).

Theo đề bài, diện tích của hình vuông bằng diện tích của hình chữ nhật, nên ta có:

 \( x^2 =49 \Leftrightarrow  x=\pm \sqrt {49}  \Leftrightarrow x =  \pm 7\).

Vì \(x > 0\) nên \(x = 7\).

Vậy độ dài cạnh hình vuông là \(7m\). 

Tổng kết

Định nghĩa căn bậc hai số học

Với  số dương \(a,\) số \(\sqrt a \)  được gọi là căn bậc hai số học của \(a.\). Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Định lí so sánh các căn bậc hai số học

Với hai số \(a;b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a  < \sqrt b \) 

   Như vậy! Nội dung của bài viết đã giúp bạn ôn tập các kiến thức lý thuyết và hướng dẫn giải bài tập căn bậc hai. Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao.