Lý thuyết căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √a2 = a, các dạng toán tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức.

can thuc bac hai va hang dang thuc

Lý thuyết căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Các kiến thức trọng tâm về căn thức bậc hai và hằng đẳng thức \(\sqrt2^2= |A|= |A|\) cần ghi nhớ 

Căn thức bậc hai

Với \(A\) là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của \(A\). Khi đó, \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi \(A\) lấy giá trị không âm.

Hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)  

Với mọi số \(a\), ta có \(\sqrt {{a^2}}  = \left| a \right|\).

* Một cách tổng quát, với \(A\) là một biểu thức ta có 

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\) nghĩa là 

\(\sqrt {{A^2}}  = A\) nếu \(A \ge 0\) và \(\sqrt {{A^2}}  =  – A\) nếu \(A < 0\).

Các dạng toán căn thức bậc hai và hằng đẳng thức \(\sqrt2^2= |A|\)

Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định

Ta có \(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi \(A\ge 0\) 

Ví dụ: \(\sqrt {x – 1} \) xác định khi \(x – 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức 

Sử dụng:  Với \(A\) là một biểu thức ta có \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Vì dụ: Với \(x>2\) ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} – 4x + 4} }}{{x – 2}}\)\( = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2}} }}{{x – 2}} = \dfrac{{\left| {x – 2} \right|}}{{x – 2}} \)\(= \dfrac{{x – 2}}{{x – 2}} = 1\)

Giải bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức \(\sqrt2^2= |A|\)

Hướng dẫn giải bài tập trang 10 và 11 sách giáo khoa Toán 9 tập 1:

Bài 6 trang 10 SGK Toán 9 tập 1

a. Ta có:  \( \sqrt{\dfrac{a}{3}}\) có nghĩa khi \(\dfrac{a}{3}\geq 0\Leftrightarrow a\geq 0\)

b. Ta có: \(\sqrt{-5a}\) có nghĩa khi \(-5a\geq 0\Leftrightarrow a\leq \dfrac{0}{-5}\Leftrightarrow a\leq 0\)

c. Ta có: \( \sqrt{4 – a}\) có nghĩa khi \(4-a\geq 0  \Leftrightarrow -a\geq -4 \Leftrightarrow a\leq 4\)

d. Ta có: \( \sqrt{3a + 7}\) có nghĩa khi \(3a+7\geq 0\Leftrightarrow 3a \geq -7 \Leftrightarrow a\geq \dfrac{-7}{3}\)

Bài 7 trang 10 SGK Toán 9 tập 1

a. Ta có: \(\sqrt {{{\left( {0,1} \right)}^2}}  = \left| {0,1} \right| = 0,1\) 

b. Ta có: \(\sqrt {{{\left( { – 0,3} \right)}^2}}  = \left| { – 0,3} \right| = 0,3\)

c. Ta có: \( – \sqrt {{{\left( { – 1,3} \right)}^2}}  =  – \left| { – 1,3} \right| = -1,3\) 

d. Ta có:

\(- 0,4\sqrt {{{\left( { – 0,4} \right)}^2}}  \)\(=  – 0,4.\left| {-0,4} \right| =  – 0,4.0,4 \)

\(=  – 0,16\) 

Bài 8 trang 10 SGK Toán 9 tập 1

a. Ta có: \(\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {2 – \sqrt 3 } \right|=2- \sqrt{3} \)

(Vì \(4>3\) nên \(\sqrt{4} > \sqrt{3} \Leftrightarrow  2> \sqrt{3} \Leftrightarrow 2- \sqrt{3}>0 \).

\(\Leftrightarrow \left| {2 – \sqrt 3 } \right| =2- \sqrt{3}\))

b. Ta có: \(\sqrt {{{\left( {3 – \sqrt {11} } \right)}^2}}  = \left| {3 – \sqrt {11} } \right|  =\sqrt{11}-3.\) 

(Vì \( 9<11\) nên \(\sqrt{9} < \sqrt{11} \Leftrightarrow  3< \sqrt{11} \Leftrightarrow 3- \sqrt{11} <0\)

\(\Leftrightarrow \left| {3 – \sqrt {11} } \right| =-(3- \sqrt{11})=\sqrt{11}-3)\)

c. Ta có: \(2\sqrt {{a^2}}  = 2\left| a \right| = 2{\rm{a}}\)  (vì \(a \ge 0\) )

d. Vì \(a < 2\) nên \(a – 2<0\)

\(\Leftrightarrow \left| a-2 \right|=-(a-2)=2-a \) 

Do đó: \(3\sqrt {{{\left( {a – 2} \right)}^2}}  = 3\left| {a – 2} \right|  = 3\left( {2 – a} \right) \)\(= 6 – 3a\). 

Bài 9 trang 11 SGK Toán 9 tập 1

a. Ta có: 

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2}} = 7 \cr 
& \Leftrightarrow \left| x \right| = 7 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 7 \cr} \)

Vậy \(x= \pm 7\).

b. Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2}} = \left| { – 8} \right| \cr 
& \Leftrightarrow \left| x \right| = 8 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 8 \cr} \)

Vậy \(x= \pm 8 \). 

c. Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2}} = 6 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x} \right)}^2}} = 6 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {2x} \right| = 6 \cr 
& \Leftrightarrow 2x = \pm 6 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 3 \cr} \)

Vậy \(x= \pm 3 \). 

d. Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {9{x^2}} = \left| { – 12} \right| \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} = 12 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 12 \cr 
& \Leftrightarrow 3x = \pm 12 \cr 
& \Leftrightarrow x = \pm 4 \cr} \).

Vậy \(x= \pm 4 \). 

Bài 10 trang 11 SGK Toán 9 tập 1

a. Ta có: VT=\({\left( {\sqrt 3  – 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} – 2. \sqrt 3 .1 + {1^2}\)

\( = 3 – 2\sqrt 3  + 1\)

\(=(3+1)-2\sqrt 3 \)

\(= 4 – 2\sqrt 3 \) = VP

Vậy  \((\sqrt{3}- 1)^{2}= 4 – 2\sqrt{3}\)  (đpcm)

b. Ta có: 

\(VT= \sqrt {4 – 2\sqrt 3 }  – \sqrt 3  \)\(= \sqrt {\left( {3 + 1} \right) – 2\sqrt 3 }  – \sqrt 3 \)

 \( = \sqrt {3 – 2\sqrt 3  + 1}  – \sqrt 3 \)

\(= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} – 2.\sqrt 3 .1 + {1^2}}  – \sqrt 3 \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  – 1} \right)}^2}}  – \sqrt 3 \) 

\( = \left| {\sqrt 3  – 1} \right| – \sqrt 3 \)

\(=\sqrt 3 -1 – \sqrt 3\) 

\(= (\sqrt 3 – \sqrt 3) -1= -1\) = VP. 

(do \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt 3  > \sqrt 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 > 1 \)\(\Leftrightarrow \sqrt 3 -1 > 0 \)

\(\Rightarrow \left| \sqrt 3 -1 \right| = \sqrt 3 -1\))

Ghi nhớ

Tổng quát căn thức bậc hai

Với \(A\) là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của \(A\). Khi đó, \(A\) được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

\(\sqrt A \) xác định hay có nghĩa khi \(A\) lấy giá trị không âm.

Định lí hằng đẳng thức \(\sqrt2^2= |A|\)

Với mọi số \(a\), ta có  \(\sqrt2^2= |A|\)

   Trên đây là các kiến thức lý thuyết trọng tâm và giải bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức  (\sqrt2^2= |A|) đã được chúng tôi biên soạn. Chúc các em học tốt và luôn đạt được kết quả cao với môn Toán lớp 9.