Lý thuyết chia đa thức cho đơn thức, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 28, 29 SGK Toán 8 tập 1.

Lý thuyết chia đa thức một biến đã sắp xếp

Các kiến thức quan trọng cần ghi nhớ:

Qui tắc

Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng các kết quả với nhau.

Chú ý

Trường hợp đa thức \(A\) có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước để rút gọn cho nhanh.

Các dạng toán chia đa thức một biến đã sắp xếp

Dưới đây là các dạng bài tập chia đa thức một biến đã sắp xếp thường gặp và phương pháp giải chi tiết cho từng dạng:

Dạng 1: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức.

Ví dụ: Thực hiện phép tính \(\left( -12{{x}^{4}}y+4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right):\left( -4{{x}^{2}} \right)\) 

Ta có: 

\(\begin{array}{l}\left( { – 12{x^4}y + 4{x^3} – 8{x^2}{y^2}} \right):\left( { – 4{x^2}} \right)\\ = \left( { – 12{x^4}y} \right):\left( { – 4{x^2}} \right) + \left( {4{x^3}} \right):\left( { – 4{x^2}} \right) – \left( {8{x^2}{y^2}} \right):\left( { – 4{x^2}} \right)\\ = 3{x^2}y – x + 2{y^2}.\end{array}\)

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại \(x = {x_0}\)

Phương pháp:

Thay \(x = {x_0}\) vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

Nếu biểu thức có nhiều biến thì ta thay lần lượt từng biến theo giả thiết.

Ví dụ: 

Tính giá trị biểu thức \(A = \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right):xy\) tại \(x=1;y=1\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A = \left( {{x^2}y + {y^2}x} \right):xy\\
= {x^2}y:xy + {y^2}x:xy\\
= x + y
\end{array}\)

Với \(x=1;y=1\) ta có: \(A = x + y = 1 + 1 = 2\)

Dạng 3: Tìm \(m\) để phép tính chia cho trước là phép chia hết.

Phương pháp:

Sử dụng nhận xét:

Đa thức A chia hết cho đơn thức B nếu các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\).

Đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B\) khi mỗi biến của \(B\) đều là biến của \(A\) với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong \(A\) .

Ví dụ: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B:

\(A=7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}}\)

\(B=5{{x}^{2}}{{y}^{n}}\)

Ta có: 

\(A:B=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}}-5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)\)\(=\left( 7{{x}^{n-1}}{{y}^{5}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{4}} \right)\)\(-\left( 5{{x}^{3}}{{y}^{4}} \right):\left( 5{{x}^{2}}{{y}^{n}} \right)\)

Đa thức A chia hết cho đơn thức B khi \(\left\{ \begin{array}{l}n – 1 \ge 2\\4 \ge n\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\n \le 4\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow 3 \le n \le 4\) mà \(n\in \mathbb N\) nên \(n\in\{3;4\}\)

Bài tập chia đa thức cho đơn thức

Hướng dẫn giải toán 8 trang 28 và 29 sách giáo khoa Toán 8 tập 1

Bài 63 trang 28 SGK Toán 8 tập 1

\(A\) chia hết cho \(B\) vì mỗi hạng tử của \(A\) đều chia hết cho \(B\) (mỗi hạng tử của \(A\) đều có chứa nhân tử \(y\) với số mũ lớn hơn hay bằng \(2\) bằng với số mũ của \(y\) trong \(B\)).

Bài 64 trang 28 SGK Toán 8 tập 1

a) \((-2x^5 + 3x^2 – 4x^3) : 2x^2\)
\(= (-2x^5 : 2x^2) + (3x^2 : 2x^2) – (4x^3 : 2x^2)\)
\(= -x^3 + \dfrac{3}{2} – 2x\)

b) \((x^3 – 2x^2y + 3xy^2) : \left(-\dfrac{1}{2}x\right)\)
\(= \dfrac{x^3 – 2x^2y + 3xy^2}{-\dfrac{1}{2}x}\)
\(= \dfrac{x(x^2 – 2xy + 3y^2)}{-\dfrac{1}{2}x}\)
\(= \dfrac{x^2 – 2xy + 3y^2}{-\dfrac{1}{2}}\)
\(= -2(x^2 – 2xy + 3y^2)\)
\(= -2x^2 +4xy – 6y^2\)

c) \((3x^2y^2 + 6x^2y^3 – 12xy) : 3xy\)
\(= (3x^2y^2 : 3xy) + (6x^2y^3 : 3xy) + ( – 12xy : 3xy)\)
\(= xy + 2xy^2 – 4\)

Bài 65 trang 29 SGK Toán 8 tập 1

Cách 1: Đặt \(x – y = z\) ta được:

\([3(x – y)^4 + 2(x – y)^3 – 5(x – y)^2] : (y – x)^2 \\=[3(x – y)^4 + 2(x – y)^3 – 5(x – y)^2] : (x – y)^2 \\ = (3z^4 + 2z^3 – 5z^2) : (z)^2\\ = 3z^2 2z – 5\\ \text{Hay}\,\, [3(x – y)^4 + 2(x – y)^3 – 5(x – y)^2] : (y – x)^2\\ \\ = 3(x – y)^2 +2(x – y) – 5\)

Cách 2:

\([3(x – y)^4 + 2(x – y)^3 – 5(x – y)^2] : (y – x)^2\)
\(= [3(x – y)^4 + 2(x – y)^3 – 5(x – y)^2] : [-(x – y)]^2\)
\(= [3(x – y)^4 + 2(x – y)^3 – 5(x – y)^2] : (x – y)^2\)
\(= 3(x – y)^4 : (x – y)^2 + 2(x – y)^3 : (x – y)^2 + [-5(x – y)^2 : (x – y)^2]\)
\(= 3(x – y)^2 + 2(x – y) – 5\)

Bài 66 trang 29 SGK Toán 8 tập 1

Ta có:

\(A : B = (5x^4 – 4x^3 + 6x^2y) : 2x^2\)
         \(= (5x^4 : 2x^2) + (- 4x^3 : 2x^2) + (6x^2y : 2x^2)\)
         \(= \dfrac{5}{2}x^2 – 2x + 3y\)

Như vậy \(A\) chia hết cho \(B\) vì mọi hạng tử của \(A\) đều chia hết cho \(B.\)

Vậy: Quang trả lời đúng, Hà trả lời sai.

Bài tập chia đa thức cho đơn thức nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp các em ôn tập kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài toán chia đa thức cho đơn thức nâng cao

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) \((7 \times 3^5 – 3^4 + 3^6) : 3^4 \)

b) \((16^3 – 64^2): 8^3\)

Bài 2: Làm tính chia

a) \((5x^4 – 3x^3 – x^2) : 3x^2\)

b) \((5xy^2 + 9xy – x^2y^2) : (-xy)\)

c) \((x^3y^3 – \frac{1}{2}x^2y^3 – x^3y^2): \frac{1}{3}x^2y^2\)

Bài 3: Tìm \(n\) để mỗi phép chia sau là phép chia hết ( \(n\) là số tự nhiên

a) \((5x^3 – 7x^2 + x) : 3x^n\)

b) \((13x^4y^3 – 5x^3y^3 + 6x^2y^2) : 5x^ny^n\)

Bài 4: Làm tính chia

a) \([5(a-b)^3 + 2 (a-b)^2] : (b-a)^2\)

b) \(5(x-2y)^3 : (5x-10y)\)

c) \((x^3 + 8y^3) : (x+2y)\)

Ghi nhớ

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức: Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng các kết quả với nhau.

Chúc các em học tốt!