Lý thuyết chia đa thức một biến đã sắp xếp, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 31 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết chia đa thức một biến đã sắp xếp, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 31 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức \(A\) và \(B\) của một biến, \(B ≠ 0\) tồn tại duy nhất hai đa thức \(Q\) và \(R\) sao cho:

\(A = B . Q + R\), với \(R = 0\) hoặc \(R≠ 0\) có bậc bé hơn bậc của \(B\)

– Nếu \(R = 0\), ta được phép chia hết.

– Nếu \(R ≠ 0\), ta được phép chia có dư.

Bài tập chia đa thức một biến đã sắp xếp

Hướng dẫn giải toán 8 trang 31 SGK (Toán 8 tập 1):

Bài 67 trang 31 SGK Toán 8 tập 1
a)

\(\left. \begin{matrix} x^3-x^2-7x+3 \\ x^3 – 3x^2\,\,\,\, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x^2-7x+3 \\ \,\,\,\,\,\,\,2x^2-6x \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,-x+3 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,-x+3\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \dfrac{x-3}{x^2+2x-1} \\ {} \\ \begin{align} & \\ & \\ \end{align} \\ \end{matrix} \)

b)

\(\left. \begin{matrix} 2x^4-3x^3-3x^2+6x-2 \\ 2x^4 – 4x^2\,\,\,\, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-3x^3 +x^2 +6x – 2 \\ \,\,\,\,\,\,\,-3x^3 +6x \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,x^2-2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,-x^2-2\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \dfrac{x^2-2}{2x^3x+1} \\ {} \\ \begin{align} & \\ & \\ \end{align} \\ \end{matrix} \)

Bài 68 trang 31 SGK Toán 8 tập 1

a) \((x^2 + 2xy + y^2) : (x + y)\)
\(= (x + y)^2 : (x + y) \)
\(= x + y\)

b) \((125x^3 + 1) : (5x + 1)\)
\(= [(5x)^3 + 1] : (5x + 1)\)
\(= [(5x + 1)[(5x)^2 – 5x + 1]] : (5x + 1)\)
\(= (5x)^2 – 5x + 1\)
\(= 25x^2 – 5x + 1\)

c) \((x^2 – 2xy + y^2) : (y – x)\)
\(= (x – y)^2 : [-(x – y)]\)
\(= -(x – y) \)
\(= y -x\)

Hoặc \((x^2 – 2xy + y^2) : (y – x)\)
\(= (y^2 – 2xy + x^2) : (y – x)\)
\(= (y – x)^2 : (y – x) \)
\(= y – x\)

Bài 69 trang 31 SGK Toán 8 tập 1

\(\left. \begin{matrix} 3^4+x^3+6x-5 \\ 3x^4 +3x^2\,\,\,\, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x^3-3x^2+6x-5 \\ \,\,\,\,\,\,\,x^3 + x \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,-3^2 + 5x -5 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,-3x^2 – 3\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5x-2 \\\end{matrix} \right|\begin{matrix} \dfrac{x^2 + 1}{3x^2 + x – 3} \\ {} \\ \begin{align} & \\ & \\ \end{align} \\ \end{matrix} \)

Suy ra: \(R = 5x – 2; \)
\(Q = 3x^2 + x – 3\)

Vậy: \(3x^4 + x^3 + 6x – 5 = (x^2 + 1)(3x^2 + x – 3) + 5x – 2\)

Bài tập chia đa thức một biến đã sắp xếp nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập kiếm thức và rèn luyện giải các bài toán chia đa thức một biến đã sắp xếp:

Bài 1: Làm tính chia

a) \((6x^2 + 13x – 5) : (2x + 5)\)

b) \((x^3 – 3x^2 + x -3) : (x-3)\)

c) \((2x^4 + x^3 -5x^2 -3x -3): (x^2 – 3)\)

Bài 2: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi thực hiện các phép chia

a) \((12x^2 – 14x +3 -6x^3 +x^4) : (1-4x +x^2)\)

b) \((x^5 -x^2 -3x^4 + 3x +5x^3 -5) : (5 + x^2 -3x^2)\)

c) \((2x^2 -5x^3 + 2x +2x^4- 1): (x^2 – x- 1)\)

Bài 3: Cho hai đa thức

\(A = x^4 -2x^3 +x^2 +13x-11\) và \( B =x^2 – 2x +3 \)

Tìm thương \(Q\) và dư \(R\) sao cho \(A=B \times Q + R \).

Bài 4: Tìm \(a\) sao cho đa thức \(x^4 -x^3 +6x^2 -x + a \) chia hết cho đa thức \(x^2 – 2x + 5\)

Bài 5: Tìm giá trị nguyên của \(n\) để giá trị của biểu thức \(3n^3 +10n^2 – 5 \) chia hết cho giá trị của biểu thức \(3n +1\)

Ghi nhớ

Phương pháp chia đa thức một biến đã sắp xếp

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1

Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠0, ta được phép chia có dư.

Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao…!