Lý thuyết đối xứng trục, các bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 87 SGK Toán 8 tập 1.

Lý thuyết đối xứng trục

Các kiến thức trọng tâm cần ghi nhớ

Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng

Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \( d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 

hai diem doi xung qua mot duong thang

Ví dụ: Cho điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d thì d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

– Qui ước: Nếu điểm \(B\) nằm trên đường thẳng \(d\) thì điểm đối xứng với \(B\) qua đường thẳng \(d\) cũng là điểm \(B\). 

Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng \(d\) và ngược lại.

– Đường thẳng \(d\) gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

hai hinh doi xung qua mot duong thang

Hình có trục đối xứng 

Định nghĩa: Đường thẳng \(d\) gọi là trục đối xứng của hình \(H\) nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình \(H\) qua đường thẳng \(d\) cũng thuộc hình \(H.\)

Ta nói rằng hình \(H\) có trục đối xứng. 

Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó. 

hinh co truc doi xung

Trên hình vẽ, đường thẳng d là trục đối xứng của hình thang cân \(ABCD\).

Các dạng toán đối xứng trục thường gặp

Dạng 1: Tính độ dài cạnh, chu vi tam giác, tứ giác

Phương pháp:

Sử dụng chú ý: “Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng thì chúng bằng nhau.”

Dạng 2: Chứng minh (nhận biết) các hình đối xứng nhau qua một đường thẳng.

Phương pháp:

Ta sử dụng định nghĩa: “ Hai điểm (A,B) gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) nếu (d) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.”

Bài tập đối xứng trục

Hướng dẫn giải toán 8 trang 87 (giải bài tập trang 83 sách giáo khoa toán tập 1)

Bài 35 trang 87 SGK Toán 8 tập 1

Vẽ hình đối xứng với hình đã cho qua trục \(d\) ta được hình

bai 36 trang 87 sgk toan 8 tap 1

Bài 36 trang 87 SGK Toán 8 tập 1

bai 36 trang 87 sgk toan 8 tap 1

a) Vì \(B\) đối xứng với \(A\) qua \(Ox\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  Ox\) là đường trung trực của \(AB\)

\( \Rightarrow   OA = OB\) (tính chất đường trung trực)  (1)

Vì \(C\) đối xứng với \(A\) qua \(Oy\) \( \Rightarrow  Oy\) là đường trung trực của \(AC\)

\( \Rightarrow  OA = OC\) (tính chất đường trung trực)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(   OB = OC.\)

b)  Vì \(OA = OB\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow ∆AOB\) cân tại \(O\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Trong tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên \(Ox\) là phân giác của \(\widehat {AOB}\).

\( \Rightarrow  \widehat{O_{1}}= \widehat{O_{2}}= \dfrac{1}{2}\widehat{AOB}\) 

Lại có \(∆AOC\) cân tại \(O\) (vì \(OA = OC\))

Trong tam giác cân đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường phân giác nên \(Oy\) là phân giác của \(\widehat {AOC}\).

\(  \Rightarrow \widehat{O_{3}}= \widehat{O_{4}}= \dfrac{1}{2}\widehat{AOC}\)

Do đó

(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{2}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{4}}\)\(=\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}}+\widehat{O_{3}}\)\(=2.\widehat{O_{1}}+2.\widehat{O_{3}}= 2(\widehat{O_{1}}+\widehat{O_{3}})\)\(= 2\widehat{xOy}\)\(= {2.50^o}\)\(={100^o}\)

Vậy \(\widehat{BOC}={100^o}\)

Bài 37 trang 87 SGK Toán 8 tập 1

– Các hình có trục đối xứng là hình: \(a, b, c, d, e, g, i.\)

– Hình \(h\) không có trục đối xứng.

Bài 37 trang 87 SGK Toán 8 tập 1

– Hình có một trục đối xứng là: \(b, c, d, e, i\)

– Hình có hai trục đối xứng là: \(a\)

– Hình có năm trục đối xứng là: \(g.\)

Bài tập đối xứng trục nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập và rèn luyện giải các bài toán về đối xứng trục:

Bài 1

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A} = 70^0 \), điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\). Vẽ điểm \(D\) đối xứng với \(M\) qua \(AB\), vẽ điểm \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AC\)

a) Chứng minh rằng \(AD=AE\)
b)Tính số đo góc \(DAE\)

Bài 2

Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(A = 60°\), trực tâm H. Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(BC\)

a) Chứng minh \( \bigtriangleup ABHC = \bigtriangleup ABMC.\)

b) Tính \(\widehat{BMC}\)

Bài 3

Cho hình thang vuông \(ABCD (\widehat{A} = \widehat{D} = 90°) \). Gọi \(H\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(AD\), \(I\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD\). Chứng minh rằng \( \widehat{AIB} = \widehat{DIC } \)

Bài 4

Cho hai điểm \(A, B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng \(xy\) (\(AB\) không vuông góc với \(xy\)). Gọi \(A’\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(xy\), \(C\) là giao điểm của \(AB\) và \(xy\), Gọi \(M\) là điểm bất kì khác \(C\) thuộc đường thẳng \(xy\). Chứng minh rằng \(AC + CB < AM + MB\).

Bài 5

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), đường cao \(AH\). Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(I\), trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AI = AK\). Chứng minh rằng điểm 1 đối xứng với điểm \(K\) qua \(AH\). 

Ghi nhớ

Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng:

Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \( d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 

Hai hình đối xứng qua một đường thẳng

Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng \(d\) và ngược lại.

– Đường thẳng \(d\) gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

Chúc các em học tốt và đạt điểm cao với môn Toán lớp 8.