Lý thuyết dựng hình bằng thước và compa – dựng hình thang. các bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 83 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết dựng hình bằng thước và compa, dựng hình thang

Các kiến thức cần ghi nhớ

Bài toán dựng hình

Ta đã biết vẽ hình bằng nhiều dụng cụ: thước, compa, êke…. Ta xét các bài toán vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa, chúng được gọi là các bài toán dựng hình.

Với thước, ta có thể:

  • Vẽ được một đường thẳng khi biết hai điểm của nó.
  • Vẽ được một đoạn thẳng khi biết hai đầu mút của nó.
  • Vẽ được một tia khi biết gốc và một điểm của tia.

Với compa, ta có thể vẽ được một đường tròn khi biết tâm và bán kính của nó.

Bài toán dựng hình đã biết

Chúng ta đã biết cách giải các bài toán dựng hình sau:

  • 1. Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước.
  • 2. Dựng một góc bằng một góc cho trước.
  • 3. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước, dựng trung điểm của đoạn thẳng cho trước.
  • 4. Dựng tia phân giác của một góc cho trước.
  • 5. Qua một điểm cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
  • 6. Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng cho trước, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
  • 7. Các dạng dựng tam giác (biết ba cạnh, biết hai cạnh và góc xen giữa, một cạnh và hai góc kề).

Dựng hình thang

Ta hãy nhớ kết quả;

  • 1. Muốn dựng hình thang, cần biết bốn yếu tố, trong đó số yếu tố về góc không quá 2.
  • 2. Muốn dựng hình thang cân, cần biết ba yếu tố, trong đó số yếu tố về góc không quá

Bài tập dựng hình bằng thước và compa, dựng hình thang

Hướng dẫn giải toán 8 trang 83 (giải bài tập trang 83 sách giáo khoa toán tập 1)

Bài 29 trang 83 SGK Toán 8 tập 1

bai 29 trang 83 sgk toan 8 tap 1

a) Phân tích

Giả sử dựng được \(ΔABC\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đoạn thẳng \(BC\) dựng được vì đã biết độ dài.

Khi đó điểm \(A\) là giao điểm của:

+ Tia \(Bx\) tạo với đoạn thẳng \(BC\) góc \({65^0}\)

+ Đường thẳng qua \(C\) và vuông góc với tia \(Bx\) vừa dựng.

b) Cách dựng

– Vẽ đoạn \(BC = 4cm.\)

– Vẽ tia \(Bx\) tạo với \(BC\) một góc \({65^0}\) 

– Vẽ đường thẳng \(a\) qua \(C\) và vuông góc với \(Bx\) và cắt \(Bx\) tại \(A.\)

Khi đó \(∆ABC\) là tam giác cần dựng.

c) Chứng minh

\(ΔABC\) vừa dựng vuông tại \(A\), \(\widehat B = {65^0}\) và \(BC = 4cm.\)

d) Biện luận

Ta luôn dựng được một tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 30 trang 83 SGK Toán 8 tập 1

bai 30 trang 83 sgk toan 8 tap 1

a) Phân tích:

Giả sử dựng được \(ΔABC\) thỏa mãn yêu cầu.

Ta dựng được đoạn \(BC\) vì biết \(BC = 2cm.\)

Khi đó điểm \(A\) là giao điểm của:

+ Tia \(By\) vuông góc với \(BC\)

+ Cung tròn tâm \(C\) bán kính \(4\,cm.\)

b) Cách dựng:

– Dựng \(\widehat {xBy} = {90^0}\). Trên tia \(Bx\) lấy điểm \(C\) sao cho \(BC = 2\,cm.\)

– Dựng cung tròn \((C; 4\,cm)\) và cung tròn này cắt tia \(By\) tại \(A.\)

– Nối \(A\) với \(C\) ta được  \(∆ABC\) là tam giác cần dựng.

c) Chứng minh

\(ΔABC\) có \(\widehat B = {90^0}, BC = 2cm.\)

\(A\) thuộc cung tròn tâm \(C\) bán kính \(4\,cm\) nên \(AC = 4cm.\)

Vậy \(ΔABC\) thỏa mãn yêu cầu đề bài

d) Biện luận

Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Bài 31 trang 83 SGK Toán 8 tập 1

bai 31 trang 83 sgk toan 8 tap 1

a) Phân tích 

Giả sử dựng được hình thang \(ABCD\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tam giác \(ADC\) dựng được vì biết ba cạnh của tam giác.

Điểm \(B\) phải thỏa mãn hai điều kiện :

+ \(B\) nằm trên tia \(Ax\) song song với \(CD\)

+ \(B\) cách \(A\) một đoạn \(2\,cm.\)

b) Cách dựng

Dựng \(\Delta A{\rm{D}}C\):

– Vẽ đoạn thẳng \(CD = 4\,cm.\)

– Dựng cung tròn \((C; 4\,cm)\) và cung tròn \((D; 2\,cm)\), hai cung tròn này cắt nhau tại \(A.\)

– Nối \(A\) với \(C, A\) với \(D\) ta được \(\Delta A{\rm{D}}C\).

Xác định điểm \(B\):
 
– Trên nửa mặt phẳng bờ là \(AD\) chứa điểm \(C\) vẽ tia \(Ax // CD.\)
 
– Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(B\) sao cho \(AB = 2\,cm.\)
 
– Nối \(B\) với \(C\) ta được hình thang \(ABCD\) cần dựng.

c) Chứng minh

Tứ giác \(ABCD\) là hình thang vì \(AB // CD\) (theo cách dựng).

Hình thang \(ABCD\) có \(AB = AD = 2\,cm\), \(AC = DC = 4\,cm\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

d) Biện luận: Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Bài tập dựng hình bằng thước và compa, dựng hình thang nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập và rèn luyện kiến thức đã học:

Bài 1

Dựng tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết cạnh huyền \(BC = 5cm\) và \( \widehat{B} = 35° \)

Bài 2

Dựng tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), biết cạnh huyền \(BC = 4,5cm\) và cạnh góc vuông \(AC = 2cm\)

Bài 3

Dựng góc 30° bằng thước và compa. 

Bài 4

Dựng hình thang cân \(ABCD (AB // CD)\), biết \(CD = 3cm, AC = 4cm, \widehat{D} = 70°\). 4

Bài 5

Dựng hình thang \(ABCD\) \((AB // CD)\), biết \(\widehat{D} = 90°\), \( AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm\)

Bài 6

Dựng tam giác \(ABC\) cân tại\( A\), biết \(BC = 3cm\), đường cao \(BH = 2,5cm\)

Chúc các bạn học tốt và đạt điểm cao!