Lý thuyết đường trung bình của tam giác, của hình thang. các bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 79 và 80 SGK Toán 8 tập 1.

Lý thuyết đường trung bình của tam giác, của hình thang

Các kiến thức cần ghi nhớ:

Đường trung bình của tam giác

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Ví dụ:

duong trung binh cua tam giac

Tam giác \(ABC\) có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AD.

Suy ra \(DE\) là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: \(DE//BC,DE = \dfrac{1}{2}BC\)

Đường trung bình của hình thang

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Ví dụ:

duong trung binh cua hinh thang

Hình thang \(ABCD\) (AB//CD) có E, F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD, BC.

Suy ra \(EF\) là đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó: \(EF//AB//CD,EF = \dfrac{{AB + CD}}{2}\)

Bài tập đường trung bình của tam giác, của hình thang

Hướng dẫn giải bài tập trang 79 và 80 sách giáo khoa Toán 8 tập 1:

Bài 20 trang 79 SGK Toán 8 tập 1

Ta có: \(\widehat {AKI} = \widehat {ACB} = {50^o}\) (giả thiết) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(IK // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Mà \(KA = KC=8\;cm\) suy ra \(K\) là trung điểm của \(AC.\)

Từ đó áp dụng định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ta suy ra được \(I\) là trung điểm của \(AB.\)

\( \Rightarrow IA = IB = 10cm \Rightarrow x = 10cm\)

Bài 21 trang 79 SGK Toán 8 tập 1

Vì \(C\) và \(D\) lần lượt là trung điểm của \(OA\) và \(OB\) (giả thiết) 

\(\Rightarrow CD\) là đường trung bình của  \(∆OAB\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow CD = \dfrac{1}{2} AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(\Rightarrow AB = 2CD = 2.3 = 6cm\).

Bài 22 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

Xét \(∆BDC\) có \(BE = ED\) (giả thiết) và \(BM = MC\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  ME\) là đường trung bình của \(\Delta B{\rm{D}}C\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow  EM // DC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow  DI // EM\) (Vì \(D, I, C\) thẳng hàng)

Bài 23 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

Ta có: \(IM = IN\) (giả thiết), \(IK // MP // NQ\) (vì cùng vuông góc với \(PQ\))

Do đó \(MNQP\) là hình thang có hai đáy là \(NQ\) và \(MP\). 

Ta thấy đường thẳng \(IK\) đi qua trung điểm \(I\) của cạnh bên \(MN\) và song song với hai đáy \(NQ, MP\)

\( \Rightarrow  K\) là trung điểm của \(PQ\) ( Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai).

\( \Rightarrow  PK = KQ = 5\,dm\) (tính chất trung điểm)

Vậy \(x = 5\,dm.\)

Bài 24 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

bai 24 trang 80 sgk toan 8 tap 1

Kẻ \(AH, CM, BK\) vuông góc với \(xy\) (\(H, M, K\) là chân đường vuông góc). 

\( \Rightarrow AH//CM//BK\) (cùng vuông góc với đường thẳng \(xy\))

\( \Rightarrow\) Tứ giác \(ABKH\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Xét hình thang \(ABKH\) có: \(AC = CB\) (giả thiết)

\(CM // AH // BK\) (chứng minh trên)

Suy ra \(MH = MK\) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai)

\( \Rightarrow CM\) là đường trung bình của hình thang \(ABKH\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của hình thang)

\( \Rightarrow\) \(CM = \dfrac{{AH + BK}}{2} = \dfrac{{12 + 20}}{2} \)\(\,= \dfrac{{32}}{2}\)\(= 16\left( {cm} \right)\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

Vậy khoảng cách từ trung điểm \(C\) của \(AB\) đến \(xy\) bằng \(16cm.\)

Bài 25 trang 80 SGK Toán 8 tập 1

bai 25 trang 80 sgk toan 8 tap 1

– Xét \(\Delta AB{\rm{D}}\) có: \(E, K\) lần lượt là trung điểm của  \(AD, BD\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  EK\) là đường trung bình của \(\Delta AB{\rm{D}}\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow   EK // AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

– Xét \(\Delta DB{\rm{C}}\) có: \(F, K\) lần lượt là trung điểm của \( BC, BD\) (giả thiết)

\( \Rightarrow  FK\) là đường trung bình của \(\Delta DB{\rm{C}}\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow  FK // DC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, \(AB // DC\) (vì \(ABCD\) là hình thang) nên suy ra \(FK // AB\) (2)

Từ (1) và (2) ta có qua điểm \(K\) không thuộc \(AB\) có hai đường thẳng \(EK\) và \(FK\) cùng \(//AB\) nên theo tiên đề Ơ-clit thì ba điểm \(E, K, F\) thẳng hàng.

Bài tập đường trung bình của tam giác, của hình thang nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán đường trung bình của tam giác, của hình thang.

Bài 1

Cho tam giác \(ABC\), điểm \(D\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(AD = \frac{1}{2}DC\). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng \(AI = IM\). 

Bài 2

Hình thang \(ABCD\) có đáy \(AB, CD\) Gọi \(E, F, I\) theo thứ tự là trung điểm của \( AD, BC, AC \) Chứng minh rằng ba điểm \(E, I, F\) thẳng hàng.

Bài 3

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E, F, I\) theo thứ tự là trung điểm của \(AD, BC, AC\).

Chứng minh rằng :

a) \(El // CD, IF || AB\);

b) \(EF < \frac{AB + CD} {2}\)

Bài 4

Cho hình thang ABCD \( (AB // CD) \), \(M\)là trung điểm của \(AD\), \(N\) là trung điểm của \(BC\). Gọi \(I, K\) theo thứ tự là giao điểm của \(MN\) với \(BD, AC\). Cho biết \(AB = 6cm, CD = 14cm\). Tính các độ dài \(MI IK, KN\). 

Bài 5

Cho tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(BD\) và \(CE\) cắt nhau ở \(G\). Gọi \(I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(GB, GC\). Chứng minh rằng \(DE // IK, DE = IK\).

Bài 6

Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM\), \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\). Chứng minh rằng AE = /frac {1}{2} EC \)

Ghi nhớ

Đường trung bình của tam giác là gì ?

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.vi du duong trung binh cua tam giac

Đường trung bình của hình thang là gì ?

Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
vi du duong trung binh cua hinh thang

Chúc các bạn học tốt và luôn đạt điểm cao…