Lý thuyết hình thang. các bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 70 và 71 SGK Toán 8 tập 1.

Lý thuyết hình thang

Các kiến thức về hình thang cần ghi nhớ

Định nghĩa 

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.

Hai cạnh song song gọi là hai đáy.

Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên. 

dinh nghia hinh thang

Ví dụ: Tứ giác \(ABCD\) có \(AB//CD\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thang có hai đáy là \(AB\) và \(CD\), hai cạnh bên là \(AD\) và \(BC\).

Nhận xét

– Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.

– Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.

Hình thang vuông

a) Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 

hinh thang vuong

Ví dụ: Hình thang \(ABCD\) có \(\widehat D = {90^0}\) nên nó là hình thang vuông.

b) Dấu hiệu nhận biết: Hình thang có một góc vuông là hình thang vuông.

Bài tập hình thang

Hướng dẫn giải bài tập trang 70 và 71 SGK Toán 8 tập 1

Bài 6 trang 70 SGK Toán 8 tập 1

Các bước tiến hành:

– Xét xem cần phải kiểm tra hai cạnh nào thuộc hai đường thẳng song song với nhau.

– Đặt mép cạnh góc vuông của êke trùng với một trong hai cạnh cần kiểm tra.

– Đặt mép thước trùng với mép cạnh góc vuông còn lại của êke.

– Giữ nguyên vị trí thước, dời êke để xét xem cạnh góc vuông của êke có trùng với cạnh còn lại mà ta cần kiểm tra của tứ giác. Nếu chúng trùng nhau thì tứ giác đó là hình thang.

Bằng cách kiểm tra trên ta có kết quả như sau:

+) Tứ giác \(ABCD\) có cạnh \(AB\) song song với cạnh \(DC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình thang.

+) Tứ giác \(IKMN\) có cạnh \(IN\) song song với cạnh \(KM\) nên tứ giác \(IKMN\) là hình thang.

+) Tứ giác \(EFGH\) không là hình thang vì không có cặp cạnh nào song song với nhau.

Bài 7 trang 71 SGK Toán 8 tập 1

Vì \(ABCD\) là hình thang có đáy là \(AB\) và \(CD\) nên \(AB//CD\)

\(a)\) Ta có: \(AB//DC\) (chứng minh trên) 

\(\Rightarrow \widehat A +\widehat D=180^0\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow x + {80^0} = {180^0}\) 

\(\Rightarrow x = {180^0} – {80^0} = {100^0}\)

Ta có: \(AB//DC\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \widehat C +\widehat B=180^0\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow y + {40^0} = {180^0}\)

\(\Rightarrow y = {180^0} – {40^0} = {140^0}\)

\(b)\) Vì \(AB//DC\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow x ={70^0} \) (hai góc đồng vị bằng nhau)

\(\Rightarrow y ={50^0} \) (hai góc so le trong bằng nhau)

\(c)\) Ta có \(AB//DC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow x + {90^0} = {180^0}\)

\(\Rightarrow x = {180^0} – {90^0} = {90^0}\)

Ta có \(AB//DC\) (chứng minh trên)

\(\Rightarrow \widehat D + \widehat A = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

\( \Rightarrow y + {65^0} = {180^0}\)

\(\Rightarrow y = {180^0} – {65^0} = {115^0}\)

Bài 8 trang 71 SGK Toán 8 tập 1

bai 8 trang 71 sgk toan 8 tap 1

Vì \(AB//CD\) nên \(\widehat A + \widehat D = {180^0}\)  (1) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Ta có \(\widehat A – \widehat D = {20^0}\) (giả thiết) 

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat A = \widehat D + {20^0}\;\;(2)\\\text{Thay (2) vào (1) ta được:}\\
\Rightarrow \widehat A + \widehat D = \widehat D + {20^0} + \widehat D\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, = 2\widehat D + {20^0} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat D = \left( {{{180}^0} – {{20}^0}} \right):2 = {80^0}.
\end{array}\)

Thay \(\widehat{D}=80^0\) vào \(\widehat{A}=20^0\) +\(\widehat{D}\) ta được \(\widehat{A}=20^0 + 80^0= 100^0\)

Lại có \(\widehat{B}=2\widehat{C}\)     (3) ;

Do \(AB//CD\) nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)   (4) (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Thay (3) vào (4) ta được:

\(2\widehat{C}+\widehat{C}=180^0\)

hay \(3\widehat C = {180^0}\Rightarrow\widehat C = {180^0}:3 = {60^0}\)

Do đó \(\widehat{B}=2\widehat{C}= 2.60^0 =120^0\)

Bài 9 trang 71 SGK Toán 8 tập 1

bai 9 trang 71 sgk toan 8 tap 1

Ta có \(AB = BC\) (giả thiết)

Suy ra  \(∆ABC\) cân tại \(B\) (định nghĩa tam giác cân)

Nên \(\widehat{A_{1}}=\widehat{C_{1}}\) (1) (tính chất tam giác cân) 

Lại có, \(AC\) là tia phân giác của \(\widehat{A}\) (giả thiết) nên suy ra \(\widehat{A_{1}}= \widehat{A_{2}}\) (2) (tính chất tia phân giác )

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{C_{1}}=\widehat{A_{2}}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(BC // AD\)

Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình thang.

Bài 10 trang 71 SGK Toán 8 tập 1

Từ hình 22 ta có: \(AB//CD//EF//GH\)

Nên ta có tất cả \(6\) hình thang, đó là: \(ABDC, CDFE, EFHG,\) \(ABFE, CDHG, ABHG.\)
 

Bài tập hình thang nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập và rèn luyện giải các bài toán về hình thang:

Bài 1

Tính các góc của hình thang \(ABCD\) \((AB // CD)\), biết rằng \( \widehat{A} = 3\widehat{D} \), \( \widehat{B} – \widehat{C} = 30^0 \).

Bài 2

Tứ giác \(ABCD\) có \( BC = CD \) và \(DB\) là tia giác của góc \(D\). Chứng minh rằng \(ABCD\) là hình thang.

Bài 3

Tính các góc \(B\) và \(D\) của hình thang \(ABCD\), biết rằng \( \widehat {A} = 60^0, \widehat{C) = 130^0 \).

Bài 4

Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất là hai góc tù, có nhiều nhất là hai góc nhọn.

Bài 5

Chúng minh rằng trong hình thang các tia phân giác của hai góc kề một cạnh bên vuông góc với nhau/

Bài 6

Cho tam giác \(ABC\). Các tia phân giác cảu các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau ở \(I\) Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(BD\), cắt các cạnh \(AB\) và \(AC\) ở \(D\) và \(E\)

Ghi nhớ

Hình thang là gì ?

Hình thang là một tứ giác lồi có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song này được gọi là các cạnh đáy của hình thang. Hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh bên

Hình thang vuông là gì ?

Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. Hình thang vuông là một trường hợp đặc biệt của hình thang.

Chúc các em học tốt…