Lý thuyết liên hệ giữa phép chia và phép khai phương, các dạng toán tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập trang 18 và 19 SGK Toán 9 tập 1

Lý thuyết liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Các kiến thức quan trọng cần ghi nhớ:

Định lí 

Với số \(a\) không âm và số \(b\) dương ta có: \( \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Quy tắc khai phương một thương 

Muốn khai phương một thương \( \dfrac{a}{b}\), trong đó a không âm, b dương, ta có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ 2.

Quy tắc chia các căn bậc hai

Muốn chia các căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương ta có thể chia a cho cho b rồi khai phương kết quả đó.

Chú ý:  Một cách tổng quát, với biểu thức \(A\) không âm và biểu thức \(B\) dương ta có \(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}\)

Các dạng toán liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức \(A\) không âm và biểu thức \(B\) dương ta có \(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}\)

Ví dụ: \(\sqrt {\dfrac{{25}}{{49}}}  = \dfrac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {49} }} = \dfrac{5}{7}\)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với biểu thức \(A\) không âm và biểu thức \(B\) dương ta có \(\sqrt{\dfrac{A}{B}}=\dfrac{\sqrt A}{\sqrt B}\)

Ví dụ: Rút gọn \(\dfrac{{\sqrt {27{y^3}} }}{{\sqrt {3y} }}\) với \(y> 0\)

Ta có: \(\dfrac{{\sqrt {27{y^3}} }}{{\sqrt {3y} }} = \sqrt {\dfrac{{27{y^3}}}{{3y}}} \)\( = \sqrt {9{y^2}}  = \sqrt {{{\left( {3y} \right)}^2}} \)\( = \left| {3y} \right| = 3y\)

Giải bài tập liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Hướng dẫn giải bài tập trang 28 và 29 sách giáo khoa Toán 9 tập 1:

Bài 28 trang 18 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{289}{225}}=\dfrac{\sqrt{289}}{\sqrt{225}}=\dfrac{\sqrt {17^2}}{\sqrt{15^2}}=\dfrac{17}{15}\).

Câu b

Ta có:

\(\sqrt{2\dfrac{14}{25}}=\sqrt{\dfrac{2.25+14}{25}}=\sqrt{\dfrac{50+14}{25}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{64}{25}}=\dfrac{\sqrt{64}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{5^2}}=\dfrac{8}{5}\).

Câu c

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{0,25}{9}}=\dfrac{\sqrt{0,25}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{0,5^2}}{\sqrt{3^2}}=\dfrac{0,5}{3}\)

\(=0,5.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}\).

Câu d

Ta có:

\(\sqrt{\dfrac{8,1}{1,6}}=\sqrt{\dfrac{81.0,1}{16.0,1}}=\sqrt{\dfrac{81}{16}}=\dfrac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\dfrac{\sqrt{9^2}}{\sqrt{4^2}}=\dfrac{9}{4}\).

Bài 29 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có:

\(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^{4}}}\)

\(=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{(y^2)^2}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|}\) 

Vì \(x> 0\) nên \(|x|=x\).

Vì \(y \ne 0\)  nên  \(y^2 > 0 \Rightarrow |y^2|=y^2\).

\(\Rightarrow \dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|} =\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y.y}=\dfrac{1}{y}\).

Vậy \(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{1}{y}\).

Câu b

Ta có:

\(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{2^2.y^2}}\)

\(=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{(2y)^2}}=2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}\)

Vì \(x^2 \ge 0 \Rightarrow |x^2|=x^2\).

Vì \(y<0\)  nên  \(2y < 0 \Rightarrow |2y|=-2y\)

\(\Rightarrow 2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.\dfrac{x^2}{-2y}=\dfrac{2y^2.x^2}{-2y}\)

\(=\dfrac{x^2.y.2y}{-2y}=-x^2y\).

Vậy \(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=-x^2y\).

Câu c

Ta có:

\(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=5xy.\dfrac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{y^6}}=5xy.\dfrac{\sqrt{5^2.x^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}\)

\(=5xy.\dfrac{\sqrt{(5x)^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}=5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}\)

Vì \(x<0\) nên \(|5x|=-5x\) 

Vì \(y>0 \Rightarrow y^3 >0 \Rightarrow |y^3|=y^3\).

\( \Rightarrow 5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\dfrac{-5x}{y^3}=\dfrac{5xy.(-5x)}{y^3}\)

\(=\dfrac{[5.(-5)].(x.x).y}{y^2.y}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\)

Vậy \(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\).

Câu d

Ta có:

\(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4y^8}}\)

\(=0,2x^3y^3\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2.(y^4)^2}}\)

\(=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2}.\sqrt{(y^4)^2}}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}\).

Vì \(x \ne 0,\ y \ne 0\)  nên  \( x^2 > 0\)  và \(y^4 > 0\)

\(\Rightarrow |x^2| =x^2\)  và \(|y^4|=y^4\).

\( \Rightarrow 0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{x^2y^4}\)

\(=\dfrac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}\)

\(=\dfrac{0,8x}{y}.\) 

Vậy \(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=\dfrac{0,8x}{y}\). 

Bài 30 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có:

\(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{y^{4}}}\)

\(=\dfrac{y}{x}.\dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{(y^2)^2}}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|}\) 

Vì \(x> 0\) nên \(|x|=x\).

Vì \(y \ne 0\)  nên  \(y^2 > 0 \Rightarrow |y^2|=y^2\).

\(\Rightarrow \dfrac{y}{x}.\dfrac{|x|}{|y^2|} =\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y^2}=\dfrac{y}{x}.\dfrac{x}{y.y}=\dfrac{1}{y}\).

Vậy \(\dfrac{y}{x}.\sqrt{\dfrac{x^{2}}{y^{4}}}=\dfrac{1}{y}\).

Câu b

Ta có:

\(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{4y^2}}=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{2^2.y^2}}\)

\(=2y^2.\dfrac{\sqrt{(x^2)^2}}{\sqrt{(2y)^2}}=2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}\)

Vì \(x^2 \ge 0 \Rightarrow |x^2|=x^2\).

Vì \(y<0\)  nên  \(2y < 0 \Rightarrow |2y|=-2y\)

\(\Rightarrow 2y^2.\dfrac{|x^2|}{|2y|}=2y^2.\dfrac{x^2}{-2y}=\dfrac{2y^2.x^2}{-2y}\)

\(=\dfrac{x^2.y.2y}{-2y}=-x^2y\).

Vậy \(2y^2.\sqrt{\dfrac{x^{4}}{4y^{2}}}=-x^2y\).

Câu c

Ta có:

\(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=5xy.\dfrac{\sqrt{25x^2}}{\sqrt{y^6}}=5xy.\dfrac{\sqrt{5^2.x^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}\)

\(=5xy.\dfrac{\sqrt{(5x)^2}}{\sqrt{(y^3)^2}}=5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}\)

Vì \(x<0\) nên \(|5x|=-5x\) 

Vì \(y>0 \Rightarrow y^3 >0 \Rightarrow |y^3|=y^3\).

\( \Rightarrow 5xy.\dfrac{|5x|}{|y^3|}=5xy.\dfrac{-5x}{y^3}=\dfrac{5xy.(-5x)}{y^3}\)

\(=\dfrac{[5.(-5)].(x.x).y}{y^2.y}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\)

Vậy \(5xy.\sqrt{\dfrac{25x^{2}}{y^{6}}}=\dfrac{-25x^2}{y^2}\).

Câu d

Ta có:

\(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^4y^8}}\)

\(=0,2x^3y^3\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2.(y^4)^2}}\)

\(=0,2x^3y^3.\dfrac{\sqrt{4^2}}{\sqrt{(x^2)^2}.\sqrt{(y^4)^2}}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}\).

Vì \(x \ne 0,\ y \ne 0\)  nên  \( x^2 > 0\)  và \(y^4 > 0\)

\(\Rightarrow |x^2| =x^2\)  và \(|y^4|=y^4\).

\( \Rightarrow 0,2x^3y^3.\dfrac{4}{|x^2|.|y^4|}=0,2x^3y^3.\dfrac{4}{x^2y^4}\)

\(=\dfrac{0,2x^3y^3.4}{x^2y^4}\)

\(=\dfrac{0,8x}{y}.\) 

Vậy \(0,2x^{3}y^{3}.\sqrt{\dfrac{16}{x^{4}y^{8}}}=\dfrac{0,8x}{y}\). 

Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có:

+) \( \sqrt {25 – 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.\)  
+) \( \sqrt {25} – \sqrt {16} \)\(= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}\)\(=5 – 4 = 1 \).

Vì \(3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 – 16}>\sqrt {25} – \sqrt {16} \).

Vậy \(\sqrt {25 – 16}  > \sqrt {25}  – \sqrt {16} \)

Câu b

Với \(a > b > 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  > \sqrt b \\a – b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  – \sqrt b  > 0\\\sqrt {a – b}  > 0\end{array} \right.\) 

Xét \(\sqrt a  – \sqrt b  < \sqrt {a – b} \) , bình phương hai vế ta được \({\left( {\sqrt a  – \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a – b} } \right)^2} \)\(\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} – 2.\sqrt a .\sqrt b  + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a – b\)

\( \Leftrightarrow a – 2\sqrt {ab}  + b < a – b \)\(\Leftrightarrow 2b – 2\sqrt {ab}  < 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b  – \sqrt a } \right) < 0\)  luôn đúng vì  \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b  > 0\\\sqrt b  – \sqrt a  < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\sqrt a  – \sqrt b  < \sqrt {a – b} \) với \(a > b > 0.\)

Ghi nhớ

Định lí: Với số \(a\) không âm và số \(b\) dương ta có: \( \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương \( \dfrac{a}{b}\), trong đó a không âm, b dương, ta có thể khai phương lần lượt a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ 2.

Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia các căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương ta có thể chia a cho cho b rồi khai phương kết quả đó.

   Trên đây là các kiến thức lý thuyết trọng tâm và giải bài tập liên hệ giữa phép chia và phép khai phương đã được chúng tôi biên soạn. Chúc các em học tốt và luôn đạt được kết quả cao với môn Toán 9.