Lý thuyết liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương, các dạng toán tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập trang 14 và 15 SGK Toán 9 tập 1

lien he giua phep nhan va phep khai phuong

Lý thuyết liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Các kiến thức quan trọng mà bạn cần ghi nhớ:

Định lí

Với các số \(a\) và \(b\) không âm ta có: \( \sqrt{a.b}=\sqrt a. \sqrt b\)

Lưu ý: 

+) Với hai biểu thức không âm A và B, ta cũng có: \( \sqrt{A.B}=\sqrt A. \sqrt B\)

+) Nếu không có điều kiện A và B không âm thì không thể viết đằng thức trên.

Chẳng hạn \( \sqrt{(-9).(-4)}\) được xác định nhưng đẳng thức \(\sqrt {(-9)}. \sqrt {(-4)}\) không xác định.

Áp dụng

Quy tắc khai phương một tích 

Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

+ Mở rộng: Với các số \(a, b,c\) không âm ta có: \( \sqrt{a.b.c}=\sqrt a. \sqrt b.\sqrt c \) 

Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

+ Mở rộng: Với các số \(a, b,c\) không âm ta có: \( \sqrt a. \sqrt b .\sqrt c=\sqrt{a.b.c}\).

+ Với biểu thức \(A\) không âm, ta có: \({\left( {\sqrt A } \right)^2} = \sqrt {{A^2}}  = A\)

Các dạng toán liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có: \( \sqrt{A.B}=\sqrt A. \sqrt B\)

Ví dụ: \(\sqrt {32}  + \sqrt 8  = \sqrt {16.2}  + \sqrt {4.2} \)\( = \sqrt {16} .\sqrt 2  + \sqrt 4 .\sqrt 2 \)\( = 4\sqrt 2  + 2\sqrt 2  = 6\sqrt 2 \)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức 

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có: \( \sqrt{A.B}=\sqrt A. \sqrt B\)

Ví dụ

\(\begin{array}{l}
\sqrt {9\left( {{x^2} – 2x + 1} \right)} = \sqrt 9 .\sqrt {{x^2} – 2x + 1} \\
= 3.\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2}} = 3\left| {x – 1} \right|
\end{array}\)

Giải bài tập liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Hướng dẫn giải bài tập trang 14 và 15 sách giáo khoa Toán 9 tập 1:

Bài 17 trang 14 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có:

\(\sqrt{0,09.64}=\sqrt{0,09}.\sqrt{64}\)

                   \(=\sqrt{(0,3)^2}.\sqrt{8^2}\)

                   \(=|0,3|. |8|\)

                   \(=0,3.8\)

                   \(=2,4\).

Câu b

Ta có:

\(\sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}=\sqrt{2^4}.\sqrt{(-7)^2}\)

                     \(=\sqrt{(2^2)^2}.\sqrt{(-7)^2}\)

                     \(=\sqrt{4^2}.\left| -7 \right| \)

                     \(=|4|.|-7|\)

                     \(=4.7\)

                     \(=28\).

Câu c

Ta có:

\(\sqrt{12,1.360}=\sqrt{12,1.(10.36)}\)

                    \(=\sqrt{(12,1.10).36}\)

                    \(=\sqrt{121.36}\)

                    \(=\sqrt{121}.\sqrt{36}\)

                    \(=\sqrt{11^2}.\sqrt{6^2}\)

                    \(=|11|.|6|\)

                    \(=11.6\)

                    \(=66\).

Câu d

Ta có:

\(\sqrt{2^{2}.3^{4}}=\sqrt{2^2}.\sqrt{3^4}\)

              \(=\sqrt{2^{2}}.\sqrt{(3^2)^2}\)

              \(=\sqrt{ 2^2}.\sqrt{9^2}\)

              \(=|2|.|9|\)

              \(=2.9\)

              \(=18\). 

Bài 18 trang 14 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có: 

\(\sqrt{7}.\sqrt{63}=\sqrt{7.63}\) \(=\sqrt{7.(7.9)}\) \(=\sqrt{(7.7).9}\)

                \(=\sqrt{7^2. 3^2}\) \(=\sqrt{7^2}.\sqrt{3^2}\)

                \(=|7|.|3|=7.3\) \(=21\).

Câu b

Ta có:

\(\sqrt{2,5}.\sqrt{30}.\sqrt{48}=\sqrt{2,5.30.48}\)

                             \(=\sqrt{2,5.(10.3).(16.3)}\)

                             \(=\sqrt{(2,5.10).(3.3).16}\)

                             \(=\sqrt{25.3^2.4^2}\)

                             \(=\sqrt{25}.\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}\)

                             \(=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}\)

                             \(=|5|.|3|.|4|=5.3.4\) \(=60\).

Câu c

Ta có:

\(\sqrt{0,4}.\sqrt{6,4}=\sqrt{0,4.6,4}=\sqrt{0,4.(0,1.64)}\)

                        \(=\sqrt{(0,4.0,1).64}=\sqrt{0,04.64}\)

                        \(=\sqrt{0,04}.\sqrt{64}=\sqrt{0,2^2}.\sqrt{8^2}\)

                        \(=|0,2|.|8|=0,2.8\) \(=1,6\).

Câu d

\(\sqrt{2,7}.\sqrt{5}.\sqrt{1,5}=\sqrt{2,7.5.1,5}\)

                              \(=\sqrt{(27.0,1).5.(0,5.3)}\)

                              \(=\sqrt{(27.3).(0,1.5).0,5}\)

                              \(=\sqrt{81.0,5.0,5} =\sqrt{81.0,5^2}\)

                              \(=\sqrt{81}.\sqrt{0,5^2}=\sqrt{9^2}.\sqrt{0,5^2}\)

                              \(=|9|.|0,5|=9.0,5=4,5\).

Bài 19 trang 15 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có:

\( \sqrt{0,36a^{2}}\ = \sqrt{0,36}.\sqrt{a^{2}}\) 

                 \(=\sqrt{0,6^2}.\sqrt{a^2}\)

                 \(= 0,6.│a│\)

                 \(= 0,6. (-a)=-0,6a\)

(Vì \(a < 0\) nên \(│a│= -a)\).

Câu b

Vì \( a^{2}\) ≥ 0   nên  \(\left| a^2 \right|= a^{2}\).

Vì \(a \ge 3\)   hay  \(3  \le a \)   nên   \(3 – a ≤ 0\).

       \( \Rightarrow│3 – a│= -(3-a)=-3+a=a – 3\).

Ta có: \( \sqrt{a^{4}.(3 – a)^{2}}= \sqrt{a^{4}}\).\( \sqrt{(3 – a)^{2}}\) 

                                         \(=\sqrt{(a^2)^2}.\sqrt{(3-a)^2}\)

                                         \(= \left| a^{2}\right|.\left| 3 – a \right|\).

                                         \(= a^2.(a-3)=a^3-3a^2\).

Câu c

Vì \(a > 1\)   hay   \(1<a\)    nên   \(1 – a < 0\).

\( \Rightarrow \left| 1 – a\right| =-(1-a)=-1+a= a -1\).

 Ta có: \( \sqrt{27.48(1 – a)^{2}} =  \sqrt{27.(3.16).(1 – a)^{2}}\)

                                            \(=\sqrt{(27.3).16.(1-a)^2}\)

                                            \(= \sqrt{81.16.(1 – a)^{2}}\) 

                                            \(=\sqrt {81} .\sqrt {16} .\sqrt {{{(1 – a)}^2}} \)

                                            \(=\sqrt{9^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{(1-a)^2}\)

                                            \(= 9.4. \left| {1 – a} \right| = 36.\left| {1 – a} \right|\)

                                             \(= 36.(a-1)=36a-36\).

Câu d

Vì \(a^2 \ge 0\), với mọi \(a\)   nên \( \left|a^2 \right| = a^2\).

 Vì \(a > b\) nên \(a -b > 0\). Do đó  \(\left|a – b\right|= a – b\).

Ta có: \( \dfrac{1}{a – b}\) . \( \sqrt{a^{4}.(a – b)^{2}}\)

\(=  \dfrac{1}{a – b}\) . \( \sqrt{a^{4}}.\sqrt{(a – b)^{2}}\)

\(= \dfrac{1}{a – b} .  {\left| {{a^2}} \right|.\left| {a – b} \right|}\)

\(=\dfrac{1}{a – b} .  a^{2}.(a – b) \)

\(=a^2\)

Bài 20 trang 15 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có: 

  \(\sqrt{\dfrac{2a}{3}}.\sqrt{\dfrac{3a}{8}}=\sqrt{\dfrac{2a}{3}.\dfrac{3a}{8}}=\sqrt{\dfrac{2a.3a}{3.8}}\) \(=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{a^2}{2^2}}\)

 \(=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\left| \dfrac{a}{2}\right|\) \(= \dfrac{a}{2}\).

(Vì \(a \ge 0\)   nên   \(\dfrac{a}{2} \ge 0 \)  \( \Rightarrow \left| \dfrac{a}{2} \right| = \dfrac{a}{2}\)).

Câu b

Ta có:

\(\sqrt{13a}.\sqrt{\dfrac{52}{a}}=\sqrt{13a.\dfrac{52}{a}}=\sqrt{\dfrac{13a.52}{a}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{13a.(13.4)}{a}}=\sqrt{\dfrac{(13.13).4.a}{a}}\)

 \(=\sqrt{13^2.4}=\sqrt{13^2}.\sqrt{4}\)

\(=\sqrt{13^2}.\sqrt{2^2}=13.2\) 

 \(=26\)    (vì \(a>0\))

Câu c

Do \(a\geq 0\) nên bài toán luôn được xác định.

Ta có: \(\sqrt{5a}.\sqrt{45a}- 3a=\sqrt{5a.45a}-3a\)

                                        \(=\sqrt{(5.a).(5.9.a)}-3a\)

                                        \(=\sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a\)

                                        \(=\sqrt{5^2.3^2.a^2}-3a\)

                                        \(=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{a^2}-3a\)

                                        \(=5.3.\left|a\right|-3a=15 \left|a \right| -3a.\)

                                        \(=15a – 3a = (15-3)a =12a.\)

(vì \(a \ge 0\)   nên  \(\left| a \right| = a).\)

Câu d

Ta có:

\((3 – a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=(3 – a)^{2}-\sqrt{0,2.180a^2}\) 

                                             \(= (3-a)^2-\sqrt{0,2.(10.18).a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{(0,2.10).18.a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{2.18.a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{36a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{36}.\sqrt{a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-\sqrt{6^2}.\sqrt{a^2}\)

                                             \(=(3-a)^2-6.\left|a\right|\).

+) \(TH1\): Nếu \(a\geq 0\Rightarrow |a|=a\).

Do đó: \((3 – a)^{2}- 6\left|a\right|=(3-a)^2-6a\)

                                        \(=(3^2-2.3.a+a^2)-6a\)

                                        \(=(9-6a+a^2)-6a\)

                                        \(=9-6a+a^2-6a\)

                                        \(=a^2+(-6a-6a)+9\)

                                        \(=a^2+(-12a)+9\)

                                        \(=a^2-12a+9\).

+) \(TH2\): Nếu \(a<0\Rightarrow |a|=-a\).

Do đó: \((3 – a)^{2}- 6\left|a\right| =(3-a)^2-6.(-a)\)

                                        \(=(3^2-2.3.a+a^2)-(-6a)\)

                                        \(=(9-6a+a^2)+6a\)

                                        \(=9-6a+a^2+6a\)

                                        \(=a^2+(-6a+6a)+9\)

                                        \(=a^2+9\).

Vậy \((3 – a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2-12a+9\),   nếu \(a \ge 0\).

        \((3 – a)^{2}- \sqrt{0,2}.\sqrt{180a^{2}}=a^2+9\),   nếu   \(a <0\). 

Bài 21 trang 15 SGK Toán 9 tập 1

Ta có: 

\(\sqrt{12.30.40}=\sqrt{(3.4).(3.10).(4.10)}\)

                    \(=\sqrt{(3.3).(4.4).(10.10)}\)

                    \(=\sqrt{3^2.4^2.10^2}\)

                    \(=\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{10^2}\)

                    \(=3.4.10=120\).

Vậy đáp án đúng là \((B). 120\)

Ghi nhớ

Định lí: Với các số \(a\) và \(b\) không âm ta có: \( \sqrt{a.b}=\sqrt a. \sqrt b\)

Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

   Trên đây là các kiến thức lý thuyết trọng tâm và giải bài tập liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương đã được chúng tôi biên soạn. Chúc các em học tốt và luôn đạt được kết quả cao với môn Toán lớp 9