Lý thuyết hình thang cân, các bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 74 SGK Toán 8 tập 1.

Lý thuyết hình thang cân

Các kiến thức cần ghi nhớ

Định nghĩa

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Ví dụ: \(ABCD\) là hình thang cân (đáy \(AB; CD\))

\(\Leftrightarrow AB // CD\) và \(\widehat{C}=\widehat{D}\)

Tính chất

Định lí 1: Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.

Ví dụ: \(ABCD\) là hình thang cân (đáy \(AB, CD\)) \( \Rightarrow  AD = BC\)

Định lí 2: Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ: \(ABCD\) là hình thang cân (đáy \(AB, CD\))  \( \Rightarrow  AC = BD\) 

Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Ví dụ: Hình thang \(ABCD\) (đáy \(AB, CD\)) có \(AC = BD\) \( \Rightarrow  ABCD\) là hình thang cân.

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân

– Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Bài tập hình thang cân

Hướng dẫn giải toán 8 trang 74 (Giải bài tập trang 74 SGK Toán 8 tập 1)

Bài 11 trang 74 SGK Toán 8 tập 1

Theo hình vẽ, ta có: \(AB = 2cm, CD = 4cm\). Lấy điểm \(E\) như hình vẽ, \(A{\rm{E}} \bot DC\), \(AE= 3cm, ED = 1cm\).

bai 11 trang 74 sgk toan 8 tap 1

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác \(AED\) vuông tại \(E\) ta được: 

\(AD^2=AE^2+ED^2=3^2+1^2=10.\)

Suy ra  \(AD = \sqrt{10}\;cm\)

\(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD=BC=\sqrt{10}\;cm\) (tính chất hình thang cân).

Vậy \(AB = 2cm,  \, CD = 4cm,\) \(AD = BC =\sqrt{10}cm.\)    

Bài 12 trang 74 SGK Toán 8 tập 1

bai 12 trang 74 sgk toan 8 tap 1

Vì \(ABCD\) là hình thang cân (giả thiết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A{\rm{D}} = BC\\
\widehat D = \widehat C
\end{array} \right.\) (tính chất hình thang cân)

Xét hai tam giác vuông \(AED\) và \(BFC\) có:

+) \(AD = BC\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat D = \widehat C\) (chứng minh trên)

Suy ra \( ∆AED =  ∆BFC\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra: \(DE = CF\) (\(2\) cạnh tương ứng).

Bài 13 trang 74 SGK Toán 8 tập 1

bai 13 trang 74 sgk toan 8 tap 1

Do \(ABCD\) là hình thang cân (giả thiết) nên \(AD = BC, AC = BD\) (tính chất hình thang cân) 

Xét \(\Delta A{\rm{D}}C\) và \(\Delta B{\rm{C}}D\)

+) \(AD = BC\) (chứng minh trên)

+) \(AC = BD\) (chứng minh trên)

+) \(DC\) chung

Suy ra \(∆ADC =  ∆BCD\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat{C_{2}}=\widehat{D_{1}}\) (\(2\) góc tương ứng)

Do đó \(\Delta E{\rm{D}}C\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân)

Lại có:
\(AC = B{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)\)
\(EC = E{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)\)
Trừ vế với vế, ta được \( AC – CE= B{\rm{D}} – DE\)
Hay \( E{\rm{A}} = EB\).

Vậy \(EA = EB, EC = ED.\)

Bài tập hình thang cân nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải toán hình thang cân:

Bài 1

Hình thang cân \(ABCD\) óc \(AB // CD\), \(AB < CD\). Kẻ các đường cao \( AH, BK\). Chứng minh rằng \(DH = CK\)

Bài 2

Hình thang cân \(ABCD\) có \(AB // CD\), \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng \(OA =OB\) ,\(OC = OD\)

Bài 3

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Trên các cạnh bên \( AB, AC\) lấy các điểm \(M, N\) sao cho \(BM = CN\)

Bài 4

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Trên các cạnh \(AB, AC\) lấy các điểm \(M, B\) sao cho \(BM =CN\)

a) Tứ giác \(BMNC\) là hình gì? Vì sao?

b) Tính các góc của tứ giác \(BMNC\) biết rằng \( \widehat{A} = 40^0 \)

Bài 5

Cho tam gác \(ABC\) cân tại \(A\), các đường phân giác \(BE, CF\). Chứng minh rằng \(BFEC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Ghi nhớ

Hình thang cân là gì ?

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau. Hình thang cân là 1 trường hợp đặc biệt của hình thang.

Trong một hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Trong một hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Chúc các em học tốt!