Lý thuyết tứ giác các bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 66 và 67 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết tứ giác

Các kiến thức cơ bản cần ghi nhớ:

Định nghĩa

Tứ giác \(ABCD\) là hình gồm bốn đoạn thẳng \(AB, BC, CD, DA\), trong đó bất kì đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. 

Định nghĩa Tứ giác

Tứ giác lồi

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Ví dụ: Tứ giác ABCD ở hình trên là tứ giác lồi.

Tổng các góc của một tứ giác

Định lí: Tổng các góc của một tứ giác bằng \({360^o}\)

Ví dụ: Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)

Bài tập tứ giác

Hướng dẫn giải toán 8 trang 66 và 67 (Giải bài tập trang 66 và 67 sách giáo khoa Toán 8 tập 1):

Bài 1 trang 66 SGK Toán 8 tập 1

Áp dụng: Tổng bốn góc trong 1 tứ giác bằng 3600

Ta có:

Ở hình 5

a) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác \(ABCD\) ta được:

\(\eqalign{
& \,\,\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0} \cr
& \Rightarrow \widehat D = {360^0} – \left( {\,\,\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right) \cr
& \Rightarrow x = {360^0} – \left( {{{110}^0} + {{120}^0} + {{80}^0}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} – {310^0} = {50^0} \cr} \)

b) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác \(EFGH\) ta được:

\(\eqalign{
& \widehat E + \widehat F + \widehat G + \widehat H = {360^0} \cr
& \Rightarrow \widehat G = {360^0} – \left( {\widehat E + \widehat F + \widehat H} \right) \cr
& \Rightarrow x = {360^0} – \left( {{{90}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} – {270^0} = {90^0} \cr} \)

c) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác \(ABDE\) ta được:

\(\eqalign{
& \widehat A + \widehat B + \widehat D + \widehat E = {360^0} \cr
& \Rightarrow \widehat D = {360^0} – \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat E} \right) \cr
& \Rightarrow x = {360^0} – \left( {{{65}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) \cr
& \;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} – {245^0} = {115^0} \cr} \)

d) Ta có: \(\widehat {IKM}+60^0=180^0\) (hai góc kề bù) \(\Rightarrow \widehat {IKM} = {180^0} – {60^0} = {120^0} \)

\(\widehat {KMN}+105^0=180^0\) (hai góc kề bù) \(\Rightarrow \widehat {KMN} = {180^0} – {105^0} = {75^0}\)

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác \(MNIK\) ta được:

\(\eqalign{
& \widehat {KMN} + \widehat {MNI} + \widehat {NIK} + \widehat {IKM} = {360^0} \cr
& \Rightarrow \widehat {MNI} = {360^0} – \left( {\widehat {KMN} + \widehat {IKM} + \widehat {NIK}} \right) \cr
& \Rightarrow x = {360^0} – \left( {{{75}^0} + {{120}^0} + {{90}^0}} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} – {285^0} = {75^0} \cr} \)

Ở hình 6

a) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác \(PQRS\) ta được:

\(\eqalign{
& \widehat P + \widehat Q + \widehat R + \widehat S = {360^0} \cr
& \Rightarrow \widehat P + \widehat Q = {360^0} – \left( {\widehat S + \widehat R} \right) \cr
& \Rightarrow x + x = {360^0} – \left( {{{65}^0} + {{95}^0}} \right) \cr
& \Rightarrow 2x = {360^0} – {160^0} \cr
& \Rightarrow x = {{{{360}^0} – {{160}^0}} \over 2} \cr
& \Rightarrow x = {{{{200}^0}} \over 2} \cr
& \Rightarrow x = {100^0} \cr} \)

b) Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác vào tứ giác \(MNPQ\) ta được:

\(\eqalign{
& \widehat M + \widehat N + \widehat P + \widehat Q = {360^0} \cr
& 3x + 4x + x + 2x = {360^0} \cr
& 10x = {360^0} \cr
& x = {{{{360}^0}} \over {10}} = {36^0} \cr} \)

Bài 2 trang 66 SGK Toán 8 tập 1

a)

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0}\) (định lý tổng các góc của tứ giác)

\(\begin{array}{l}
\widehat {{D}}= {360^0} – \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right)\\
= {360^0} – \left( {{75}^0+{{90}^0} + {{120}^0}} \right)\\
= {360^0} – {285^0}\\= {75^0}
\end{array}\)

Ta có:

+) \(\widehat {BAD} + \widehat {{A_1}} = {180^0}\) (2 góc kề bù)

\(\begin{array}{l}
\widehat {{A_1}} = {180^0} – \widehat {BAD}\\
= {180^0} – {75^0} = {105^0}.
\end{array}\)

+) \(\widehat {{B_1}} + \widehat {CBA} = {180^0}\) (2 góc kề bù)

\(\begin{array}{l}
\widehat {{B_1}} = {180^0} – \widehat {CBA}\\= {180^0} – {90^0} = {90^0}.
\end{array}\)

+) \(\widehat {{C_1}} + \widehat {BCD} = {180^0}\) (2 góc kề bù)

\(\begin{array}{l}
\widehat {{C_1}} = {180^0} – \widehat {BC{\rm{D}}}\\= {180^0} – {120^0} = {60^0}.
\end{array}\)

+) \(\widehat {{D_1}} + \widehat {ADC} = {180^0}\)

\(\begin{array}{l}
\widehat {{D_1}} = {180^0} – \widehat {{\rm{ADC}}}\\= {180^0} – {75^0} = {105^0}.
\end{array}\)

b)

Ta có: 

+) \(\widehat {A} + \widehat {{A_1}} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \(\Rightarrow \widehat {{A_1}} = {180^0}-\widehat {A} \)

+) \(\widehat {B} + \widehat {{B_1}} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \(\Rightarrow \widehat {{B_1}} = {180^0}-\widehat {B} \)

+) \(\widehat {C} + \widehat {{C_1}} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \(\Rightarrow \widehat {{C_1}} = {180^0}-\widehat {C} \)

+) \(\widehat {D} + \widehat {{D_1}} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \(\Rightarrow \widehat {{D_1}} = {180^0}-\widehat {D} \)

Lại có: \(\widehat {{A}} + \widehat {{B}} + \widehat {{C}} + \widehat {{D}} = {360^0}\) (định lý tổng 4 góc trong tứ giác ABCD)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}\\ = \left( {{{180}^0} – \widehat {{A}}} \right) + \left( {{{180}^0} – \widehat {{B}}} \right) \\\;\;\;+ \left( {{{180}^0} – \widehat {{C}}} \right) + \left( {{{180}^0} – \widehat {{D}}} \right)\\
= {180^0}.4 – \left( {\widehat {{A}} + \widehat {{B}} + \widehat {{C}} + \widehat {{D}}} \right)\\
= {720^0} – {360^0} = {360^0}.
\end{array}\)

c)

Nhận xét: Tổng các góc ngoài của tứ giác bằng \({360^0}\)

Bài 3 trang 67 SGK Toán 8 tập 1

a)

Ta có: \(AB = AD\) (giả thiết) \( \Rightarrow  A\) thuộc đường trung trực của \(BD\) (Theo tính chất một điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó).

\(CB = CD\) (giả thiết) \( \Rightarrow  C\) thuộc đường trung trực của \(BD\) (Theo tính chất một điểm cách đều hai đầu của đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó).

Vậy \(AC\) là đường trung trực của \(BD.\)

b)

Xét \(∆ ABC\) và \(∆ADC\) có:

  +) \(AB = AD\) (giả thiết)

  +) \(BC = DC\) (giả thiết)  

  +) \(AC\) cạnh chung

bai 3 trang 67 sgk toan 8 tap 1

Suy ra \(∆ ABC = ∆ADC\) (c.c.c)  

\(\Rightarrow \widehat B = \widehat D\) (hai góc tương ứng)

Xét tứ giác \(ABCD\), ta có: \(\widehat B + \widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat {\rm{D}} + \widehat {BA{\rm{D}}} = {360^0}\) (Định lí tổng các góc của một tứ giác).

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat B + \widehat {\rm{D}} = {360^0} – \left( {\widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat {BA{\rm{D}}}} \right) \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {360^0} – \left( {{{60}^0} + {{100}^0}} \right) = {200^0}\\ \text{Mà  }\widehat B= \widehat D\text{ (chứng minh trên) }\\
\Rightarrow \widehat B+\widehat B = {200^0}\\\Rightarrow 2\widehat B = 200^0
\end{array}\)

 Do đó \(\widehat B = \widehat {\rm{D}} = {200^0}:2 = {100^0}.\)

Bài 4 trang 67 SGK Toán 8 tập 1

* Cách vẽ hình \(9\):

Vẽ \(\Delta ABC\) trước rồi vẽ \(\Delta ACD\) (hoặc ngược lại).

– Vẽ đoạn thẳng \(AC = 3cm\).

– Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AC\), vẽ cung tròn tâm \(A\) bán kính \(1,5cm\) với cung tròn tâm \(C\) bán kính \(2cm\).

– Hai cung tròn trên cắt nhau tại \(B\).

– Vẽ các đoạn thẳng \(AB, AC\) ta được \(\Delta ABC\).

– Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AC\) không chứa \(B\), vẽ cung tròn tâm \(A\) bán kính \(3cm\) với cung tròn tâm \(C\) bán kính \(3,5cm\).

– Hai cung tròn trên cắt nhau tại \(D\).

– Vẽ các đoạn thẳng \(AD,AC\) ta được \(\Delta ADC\).

Tứ giác \(ABCD\) là tứ giác cần vẽ.

bai 4 trang 67 sgk toan 8 tap 1 hinh 9

* Cách vẽ hình 10:

Vẽ \(\Delta MQP\) trước rồi vẽ \(\Delta MNP\).

Vẽ \(\Delta MQP\) biết hai cạnh và góc xen giữa.

– Vẽ góc \(\widehat{xQy}=70^{0}\)

– Trên tia \(Qy\) lấy điểm \(M\) sao cho \(QM = 2cm.\)

– Trên tia \(Qx\) lấy điểm \(P\) sao cho \(QP = 4cm.\)  

– Vẽ đoạn thẳng \(MP\), ta được \(\Delta MQP\).

Vẽ \(\Delta MNP\) biết ba cạnh, với cạnh \(MP\) đã vẽ.

– Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(MP\) không chứa \(Q\), vẽ cung tròn tâm \(M\) bán kính \(1,5cm\) và cung tròn tâm \(P\) bán kính \(3cm\).

– Hai cung tròn trên cắt nhau tại \(N.\)

– Vẽ các đoạn thẳng \(MN\), \(PN\) ta được \(\Delta MNP\).

Tứ giác \(MNPQ\) là tứ giác cần vẽ. 

bai 4 trang 67 sgk toan 8 tap 1 hinh 10

Bài 5 trang 67 SGK Toán 8 tập 1

Các bước làm như sau: 

– Xác định các điểm \(A, B, C, D\) trên hình vẽ với \(A(3 ; 2), B(2 ; 7), C(6 ; 8), D(8 ; 5)\).

– Vẽ tứ giác \(ABCD.\)

– Vẽ hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường chéo đó.

– Xác định tọa độ của điểm \(K\) là \(K(5 ; 6)\)

Vậy vị trí kho báu có tọa độ \(K(5 ; 6)\) trên hình vẽ. 

bai 5 trang 67 sgk toan 8 tap 1

Bài tập tứ giác nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập và rèn luyện các kiến thức đã học:

Bài 1

Tính tổng các góc ngoài cảu từ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài)

Bài 2

Tứ giác \(ABCD\) có \(AB – BD\), \(CD = DA\).

a) Chứng minh rằng \(DB\) là đường trung trực của AC.

b) Cho biết \( \widehat{B} = 100^0, \widehat{D} = 70^0 \), tính \(\widehat{A}\) và \(\widehat{C}\)

Bài 3

Tính các góc của tứ giác \(ABCD\), biết rắng

\(\widehat{A} : \widehat{B} :\widehat{C}:\widehat{D} = 1 : 2 : 3 :4\).

Bài 4

Tứ giác \(ABCD\) có \( \widehat{A}= 65^0, \widehat{B} = 117^0, \widehat{C} = 71^0 \). Tính số đo góc ngoài tại đỉnh \(D\)

Bài 5

Chúng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Bài 6

Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh \(A\) và \(C\) bằng tổng hai góc trong tại các đỉnh \(B\) và \(D\)

Ghi nhớ

Tứ giác là gì ?

Tứ giác là một đa giác hình gồm 4 cạnh và 4 đỉnh, trong đó không có bất kì 2 đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác lồi là gì ?

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác.

Chúc các em học tốt và làm tốt các bài toán tứ giác.