Lý thuyết nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số, các dạng toán tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập trang 44, 45 và 46 SGK Toán 9 tập 1

nhac lai va bo sung cac khai niem ve ham so

Lý thuyết nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Khái niệm hàm số 

* Định nghĩa: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số.

* Hàm số thường được kí hiệu bởi những chữ \(f, g, h…\), chẳng hạn khi y là một hàm số của biến số x, ta viết \(y = f(x)\) hoặc \(y = g(x),…\) 

+ \(f(a)\) là giá trị của hàm số \(y = f(x)\) tại \(x = a.\)

Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

+ Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

Đồ thị của hàm số 

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số \(y = f(x).\)

Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc tập số thực R. Với x1, x2 túy ý thuộc R:

  • a) Nếu x1< x2  mà f(x1 ) < f(x2 ) thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm đồng biến trên \(\mathbb R.\)
  • b) Nếu x1< x2 mà f(x1 ) > f(x2 ) thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm nghịch biến trên \(\mathbb R.\)

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1 : Tính giá trị của hàm số tại một điểm

Phương pháp:

Để tính giá trị ${y_0}$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_0}$ ta thay $x = {x_0}$ vào $f\left( x \right)$, ta được ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.

Dạng 2 : Biểu diễn tọa độ của một điểm và xác định điểm thuộc đồ thị hàm số

Phương pháp:

Điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ khi ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$

Dạng 3 :  Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

Bước 2: Giả sử ${x_1} < {x_2}$ và ${x_1},{x_2} \in D$. Xét hiệu $H = f\left( {{x_1}} \right) – f\left( {{x_2}} \right)$.

+ Nếu $H < 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số đồng biến.

+ Nếu $H > 0$ với ${x_1},{x_2}$ bất kỳ thì hàm số nghịch biến.

Dạng 4 : Bài toán liên quan đến đồ thị hàm số $y = ax\left( {a \ne 0} \right)$

Phương pháp:

+ Đồ thị hàm số dạng $y = ax{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ và điểm $E\left( {1;a} \right)$.

+ Cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Khi đó độ dài đoạn thẳng $AB$ được tính theo công thức:$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} – {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} – {y_A}} \right)}^2}} $.

Giải bài tập nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Hướng dẫn giải bài tập trang 44, 45 và 46 sách giáo khoa Toán 9 tập 1:

Bài 1 trang 44 sgk toán 9 tập 1

a) Thay các giá trị vào hàm số \(y = f(x) = \dfrac{2}{3} x\). Ta có

 \(f(-2) = \dfrac{2}{3}.(-2)=\dfrac{2.(-2)}{3}=\dfrac{-4}{3}\).
 \(f(-1) = \dfrac{2}{3}.(-1)= \dfrac{2.(-1)}{3}=\dfrac{-2}{3}\).
 \(f(0) = \dfrac{2}{3}.0=0\). 
 \(f\left (\dfrac{1}{2}\right ) =\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\).
 \(f(1) = \dfrac{2}{3}.1=\dfrac{2}{3}\).
 \(f(2) = \dfrac{2}{3}.2=\dfrac{4}{3}\).
 \(f(3) = \dfrac{2}{3}.3=2\). 

b) Thay các giá trị vào hàm số \(y = g(x) = \dfrac{2}{3} x + 3\). Ta có

 \(g(-2) = \dfrac{2}{3}.(-2)+3= \dfrac{2.(-2)}{3}+3\\=\dfrac{-4}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{5}{3}.\)
 \(g(-1) = \dfrac{2}{3}.(-1)+3 = \dfrac{2.(-1)}{3}+3\\= \dfrac{-2}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{7}{3}.\)
 \(g(0) = \dfrac{2}{3}.0+3= \dfrac{2.0}{3}+3=0+3=3.\)
 \(g\left ( \dfrac{1}{2} \right ) = \dfrac{2}{3}. \dfrac{1}{2} +3\\=\dfrac{1}{3}+3=\dfrac{1}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{10}{3}.\)
 \(g(1) = \dfrac{2}{3}.1+3=\dfrac{2}{3}+3\\=\dfrac{2}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{11}{3}.\)
 \(g(2) = \dfrac{2}{3}.2+3=\dfrac{2.2}{3}+3=\dfrac{4}{3}+3\\=\dfrac{4}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{13}{3}\)
 \(g(3) = \dfrac{2}{3}.3+3=\dfrac{2.3}{3}+3\\=\dfrac{6}{3}+\dfrac{9}{3}=\dfrac{15}{3}=5.\)

c)

Từ kết quả câu a và câu b ta thấy:

Khi \(x\) lấy cùng một giá trị thì giá trị của \(g(x)\) lớn hơn giá trị của \(f(x)\) là \(3\) đơn vị.

(Chú ý: Hai hàm số \(y=\dfrac{2}{3} x\) và \(y = \dfrac{2}{3} x + 3\) đều là hàm số đồng biến vì khi \(x\) tăng thì \(y\) cũng nhận được các giá trị tương ứng tăng lên).

Bài 2 trang 45 sgk toán 9 tập 1

a) Với \(y=f\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}x+3\), ta có:
\(\begin{align} & f\left( -2,5 \right)=-\dfrac{1}{2}.\left( -2,5 \right)+3=4,25; \\ & f\left( -2 \right)=-\dfrac{1}{2}.\left( -2 \right)+3=4; \\ & f\left( -1,5 \right)=-\dfrac{1}{2}.\left( -1,5 \right)+3=3,75; \\ & f\left( -1 \right)=-\dfrac{1}{2}.\left( -1 \right)+3=3,5; \\ & f\left( -0,5 \right)=-\dfrac{1}{2}.\left( -0,5 \right)+3=3,25; \\ & f\left( 0 \right)=-\dfrac{1}{2}.0+3=3; \\ & f\left( 0,5 \right)=-\dfrac{1}{2}.0,5+3=2,75; \\ \end{align}\)

\(\begin{align} & f\left( 1 \right)=-\dfrac{1}{2}.1+3=2,5; \\ & f\left( 1,5 \right)=-\dfrac{1}{2}.1,5+3=2,25; \\ & f\left( 2 \right)=-\dfrac{1}{2}.2+3=2; \\ & f\left( 2,5 \right)=-\dfrac{1}{2}.2,5+3=1,75; \\ \end{align}\)

Điền vào bảng ta được:

\(x\)\(-2,5\)\(-2\)\(-1,5\)\(-1\)\(-0,5\)\(0\)\(0,5\)\(1\)\(1,5\)\(2\)\(2,5\)
\(y=-\dfrac{1}{2}x+3\)\(4,25\)\(4\)\(3,75\)\(3,5\)\(3,25\)\(3\)\(2,75\)\(2,5\)\(2,25\)\(2\)\(1,75\)

b) Hàm số \(y=-\dfrac{1}{2}x+3\) là hàm số nghịch biến vì khi giá trị của biến \(x\) tăng lên thì giá trị tương ứng của hàm \(y\) lại giảm đi.

Bài 3 trang 45 sgk toán 9 tập 1

a) Đồ thị của hàm số (y=2x) là một đường thẳng đi qua hai điểm (O(0;0)) và (A(1;2)).
Đồ thị hàm số (y=-2x) là một đường thẳng đi qua hai điểm (O(0;0)) và (B(1;-2)).

Bài 3 trang 45 sgk toán 9 tập 1

b) Hàm số (y=2x) là hàm số đồng biến vì khi giá trị của biến (x) tăng lên thì giá trị tương ứng của (y) cũng tăng lên.
Hàm số (y=-2x) là hàm số nghịch biến vì khi giá trị của biến (x) tăng lên thì giá trị tương ứng của (y) lại giảm đi.

   Trên đây là các kiến thức lý thuyết trọng tâm và giải bài tập nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số được chúng tôi biên soạn. Chúc các em học tốt và luôn đạt được kết quả cao với môn toán lớp 9.