Lý thuyết nhân đa thức với đa thức, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 8 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết nhân đa thức với đa thức

Các kiến thức về nhân đa thức với đa thức các em cần ghi nhớ:

Qui tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Công thức

Cho \(A, B, C, D\) là các đa thức ta có:

\((A + B) . (C + D) \)

\(= A(C + D) + B(C + D)\)

\(= AC + AD + BC + BD.\)

Các dạng toán nhân đa thức với đa thức

3 dạng toán thường gặp và phương pháp giải chi tiết:

Dạng 1: Thực hiện phép tính (hoặc rút gọn biểu thức)

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}
\left( {x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\\
= x.2x + x.1 + 1.2x + 1.1\\
= 2{x^2} + x + 2x + 1\\
= 2{x^2} + 3x + 1
\end{array}\)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

Giá trị của biểu thức \(f\left( x \right)\) tại \({x_0}\) là \(f\left( {{x_0}} \right)\)

Ví dụ: 

Tính giá trị của biểu thức:

\(A = (x – 1)\left( {{x^2} + 1} \right) – (2x + 3)\left( {{x^2} – 2} \right)\) tại  \(x = 2\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}A = \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – \left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} – 2} \right)\\ \Leftrightarrow A = x.{x^2} + x.1 – 1.{x^2} – 1.1 – 2x.{x^2} + 2x.2 – 3.{x^2} + 3.2\\ \Leftrightarrow A = {x^3} + x – {x^2} – 1 – 2{x^3} + 4x – 3{x^2} + 6\\ \Leftrightarrow A = – {x^3} – 4{x^2} + 5x + 5\end{array}\)

Tại \(x=2\) ta có: \(A=-{{2}^{3}}-{{4.2}^{2}}+5.2+5=-9\).

Dạng 3: Tìm \({\bf{x}}\)

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc nhân đa thức với đa thức để biến đổi đưa về dạng tìm \(x\) cơ bản.

Ví dụ: 

Tìm x biết:

\(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) – \left( {x – 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)(x + 3) – \left( {x – 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6\\ \Leftrightarrow x.x + 3.x + 2.x + 2.3 – x.x – 5.x + 2.x + 2.5 = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2x + 6 – {x^2} – 5x + 2x + 10 = 6\\ \Leftrightarrow 2x + 16 = 6\\ \Leftrightarrow 2x = – 10\\ \Leftrightarrow x = – 5\end{array}\)

Bài tập nhân đa thức với đa thức

Hướng dẫn giải toán 8 trang 8 sách giáo khoa Toán 8 tập 1

Bài 7 (trang 8 SGK Toán 8 tập 1)

a) \((x^2 – 2x + 1)( x – 1)\) 
\(= x^2.x + x^2.( -1) + (- 2x).x + (-2x).(-1) + 1.x + 1.(-1)\)
\(= x^3 – x^2 – 2x^2 + 2x + x -1\)
\(= x^3 – 3x^2 + 3x – 1\)

b) \((x^3 – 2x^2 + x – 1)(5 – x)\)
\(= x^3.5 + x^3(-x) + (- 2x^2).5 + (- 2x^2)(-x) + x.5+ x(- x) + (-1).5 + (-1).(-x)\)
\(= 5x^3 – x^4 – 10x^2 + 2x^3 + 5x – x^2 – 5 + x\)
\(= -x^4 + 7x^3 – 11x^2 + 6x -5\)

Suy ra kết quả của phép nhân:

\((x^3 – 2x^2 + x – 1)( x – 5) \)
\(= (x^3 -2x^2 + x – 1)[-(5 – x)]\)
\(= -(x^3 – 2x^2 + x – 1)(5 – x)\)
\(= – (-x^4 + 7x^3 – 11x^2 + 6x -5)\)
\(= x^4 – 7x^3 + 11x^2 – 6x + 5\)

Bài 8 (trang 8 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(\left(x^2y^2 – \dfrac{1}{2}xy + 2y\right)(x – 2y)\)
\(= x^2y^2.x + x^2y^2.(-2y) + \left( – \dfrac{1}{2}xy \right).x + \left( – \dfrac{1}{2}xy \right).(-2y) + 2y.x + 2y.(-2y)\)
\(= x^3y^2 – 2x^2y^3 – \dfrac{1}{2}x^2y + xy^2 + 2xy – 4y^2\)

b)  \((x^2 – xy + y^2)(x + y)\)
\(= x^2.x + x^2.y + (-xy).x + (-xy).y + y^2.x + y^2.y\)
\(= x^3 + x^2y – x^2y – xy^2 + xy^2 + y^3\)
\(= x^3 + y^3\)

Bài 9 (trang 8 SGK Toán 8 tập 1)

Giá trị của \(x\) và \(y\)Giá trị của biểu thức \((x – y)(x^2 + xy + y^2)\)
\(x = -10;\, y = 2\)\(-1008\)
\(x = -1;\, y = 0\)\(-1\)
\(x = 2; \, y = -1\)\(-9\)
\(x = -0,5;\, y = 1,25\)\(-2,078125\)

Bài tập nhân đa thức với đa thức nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp các em ôn tập kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán nhân đa thức với đa thức:

Bài 1: Thực hiện phép tính

a) \((5x-2y)(x^2-xy+1)\)

b) \((x-1)(x+1)(x+2)\)

c)\(\frac{1}{2}x^2y^2(2x+y)(2x-y)\)

Bài 2: Thực hiện phép tính

a) \((\frac{1}{2}x-1)(2x-3)\)

b) \((x-7)(x-5)\)

c) \((x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2})(4x-1)\)

Bài 3: Chứng minh

a) \((x-1)(x^2+x+1)=x^3-1\)

b) \((x^3+x^2y+xy^2+y^3)(x-y)=x^4-y^4\)

Bài 4: Cho \(a\) và \(b\) là hai số tự nhiên. Biết \(a\) chia cho \(3\) dư \(1\); \(b\) chia cho \(3\) dư \(2\).
Chứng minh rằng \(ab\) chia cho \(3\) dư \(2\)

Bài 5: Chứng minh rằng biểu thức \(n(2x-3)-2x(n+1)\) luôn chia hết cho \(5\) với giá trị của \(n\)

Ghi nhớ

Qui tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Công thức nhân đa thức với đa thức: 

Cho \(A, B, C, D\) là các đa thức ta có:

\((A + B) . (C + D) \)

\(= A(C + D) + B(C + D)\)

\(= AC + AD + BC + BD.\)

Chúc các em học tốt và luôn đạt điểm tuyệt đối với các bài toán nhân đa thức với đa thức.