Lý thuyết Nhân đơn thức với đa thức, các dạng toán và hướng dẫn giải bài tập trang 5, 6 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết Nhân đơn thức với đa thức

Các kiến thức lý thuyết Nhân đơn thức cơ bản các em cần ghi nhớ:

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Tổng quát:

Cho \(A, B, C, D\) là các đơn thức, ta có: \(A(B + C – D) = AB + AC – AD.\)

Ví dụ: 

\(\begin{array}{l}
x\left( {{x^2} + 1} \right)\\
= x.{x^2} + x.1\\
= {x^{1 + 2}} + x\\
= {x^3} + x
\end{array}\)

Các phép tính về lũy thừa

\({a^n} = a.a…a\,\,\,\left( {a \in\mathbb Q,n \in \mathbb N^*} \right)\)

\({a^o} = 1\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

\({a^n}.{a^m} = {a^{n{\text{ }} + {\text{ }}m}}\)

\({a^n}:{a^m} = {a^{n – m}}\,\,\left( {n \geqslant m} \right)\)

\({({a^m})^n} = {a^{m.n}}\)

Các dạng toán nhân đơn thức với đa thức cơ bản 

Các dạng bài thường gặp và phương pháp giải 

Dạng 1: Thực hiện phép tính (hoặc rút gọn biểu thức)

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức.

Ví dụ: 

\(\eqalign{& \,\,{x^2}\left( {x + y} \right) + 2x\left( {{x^2} + y} \right) \cr &  = {x^2}.x + {x^2}.y + 2x.{x^2} + 2x.y \cr & = {x^3} + {x^2}y + 2{x^3} + 2xy \cr & = 3{x^3} + {x^2}y + 2xy } \)

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp:

Giá trị của biểu thức \(f\left( x \right)\) tại \({x_0}\) là \(f\left( {{x_0}} \right)\)

Ví dụ: 

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức: \(A = 5x\left( {x – 4y} \right) – 4y\left( {y – 5x} \right)\) với \(x =  – {1 \over 5};y =  – {1 \over 2}\)

Ta có: 

\(\eqalign{ & \,\,\,A = 5x\left( {x – 4y} \right) – 4y\left( {y – 5x} \right) \cr & \Leftrightarrow A = 5x.x – 5x.4y – 4y.y – 4y\left( { – 5x} \right) \cr & \Leftrightarrow A = 5{x^2} – 20xy – 4{y^2} + 20xy \cr & \Leftrightarrow A = 5{x^2} – 4{y^2} \cr} \)

Tại \(x =  – {1 \over 5}\) và \(y =  – {1 \over 2}\) ta có:

\(A = 5.{\left( { – {1 \over 5}} \right)^2} – 4{\left( { – {1 \over 2}} \right)^2} \\= 5.{1 \over {25}} – 4.{1 \over 4} = {1 \over 5} – 1 =  – {4 \over 5}\) 

Dạng 3: Tìm \({\bf{x}}\)

Phương pháp:

Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức để biến đổi đưa về dạng tìm \(x\) cơ bản.

Ví dụ: 

Tìm x biết:

\(6x\left( {5x + 3} \right) + 3x\left( {1 – 10x} \right) = 7\)

Ta có:

\(\eqalign{ & \,6x\left( {5x + 3} \right) + 3x\left( {1 – 10x} \right) = 7 \cr & \Leftrightarrow 6x.5x + 6x.3 + 3x.1 – 3x.10x = 7 \cr & \Leftrightarrow 30{x^2} + 18x + 3x – 30{x^2} = 7 \cr & \Leftrightarrow 21x = 7 \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over 3} \cr} \)

Bài tập nhân đa thức với đa thức

Lời giải các bài tập trang 5 và 6 sách giáo khoa Toán 8 tập 1:

Bài 1 (Trang 5 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(x^2.\left(5x^3 – x – \dfrac{1}{2}\right)\)

\(= x^2.5x^3 – x^2x – \dfrac{1}{2}x^2\)

\(= 5x^5 – x^3 – \dfrac{1}{2}x^2\)

b) \((3xy – x^2 + y).\dfrac{2}{3}x^2y\)

\(= \dfrac{2}{3}x^2y.3xy – \dfrac{2}{3}x^2y .x^2 + \dfrac{2}{3}x^2y.y\)

\(= 2x^3y^2 – \dfrac{2}{3}x^4y + \dfrac{2}{3}x^2y^2\)

c) \((4x^3 – 5xy + 2x)\left(- \dfrac{1}{2}xy\right)\)

\(=\left(- \dfrac{1}{2}xy\right) .4x^3 -\left(- \dfrac{1}{2}xy\right). 5xy + \left(- \dfrac{1}{2}xy \right).2x\)

\(= -2x^4y + \dfrac{5}{2}x^2y^2-x^2y\)

Bài 2 (Trang 5 SGK Toán 8 tập 1)

a)

 \(x(x – y) + y(x + y) \\= x^2 – xy + yx + y^2 \\= x^2 – xy + xy + y^2 = x^2 + y^2\)
Với \(x = -6\) và \(y = 8\) biểu thức có giá trị là:
 \((-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)
b)

\(x(x^2 – y) – x^2 (x + y) + y(x^2 – x) \\= x^3 – xy – x^3 – x^2y + yx^2 – yx \\= -2xy\)
Với \(x = \dfrac{1}{2}\) và \(y = -100\) biểu thức có giá trị là:
\(-2. \dfrac{1}{2}.(-100) = 100\)

Bài 3 (Trang 5 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(3x(12x – 4) – 9x(4x – 3) = 30\)
\(\Leftrightarrow 36x^2 – 12x – 36x^2 + 27x = 30\)
\(\Leftrightarrow 15x = 30\)
\(\Rightarrow x = 2\)

b) \(x(5 – 2x) + 2x(x – 1) = 15\)
\(\Leftrightarrow 5x – 2x^2 + 2x^2 – 2x = 15\)
\(\Leftrightarrow 3x = 15\)
\(\Rightarrow x = 5\)

Bài 4 (Trang 5 SGK Toán 8 tập 1)

Nếu gọi số tuổi là \(x\) thì ta có kết quả cuối cùng là:

    \([2(x + 5) + 10].5 – 100 \)
\(= (2x + 10 + 10).5 – 100\)
\(= ( 2x + 20). 5 – 100\)
\(= 10x + 100 – 100\)
\(= 10x\)

Thực chất kết quả cuối cùng được đọc lên chính là \(10\) lần số tuổi của bạn.

Vì vậy, khi đọc kết quả cuối cùng, thì tôi chỉ việc bỏ đi một chữ số \(0\) ở tận cùng là ra số tuổi của bạn. Chẳng hạn bạn đọc là \(130\) thì tuổi của bạn là \(13.\)

Bài 5 (Trang 5 SGK Toán 8 tập 1)

a)
\( x(x – y) + y(x – y) \\= x^2 – xy + yx – y^2 \\= x^2 – xy + xy – y^2 \\= x^2 – y^2\)

b) 
\(x^{n-1}(x + y) – y( x^{n-1} + y^{n-1} ) \\= x^n + x^{n-1}y – yx^{n-1 }- y^n \\= x^n + x^{n-1}y – x^{n-1}y – y^n \\= x^n – y^n\)

Bài 6 (Trang 6 SGK Toán 8 tập 1)

Thay \(x = – 1,\, y = 1\) vào biểu thức, ta được :

\(a(-1)(- 1 – 1) + 1^3 (- 1 + 1) = -a(-2) + 1.0 = 2a\)

Vậy đánh dấu x vào ô tương ứng với \(2a.\)

Để nắm được cách làm và bài giải chi tiết hơn, các bạn có thể xem tài liệu hướng dẫn giải toán 8 trang 5 đã được biên soạn.

Bài tập nhân đa thức với đa thức nâng cao

Các bài tập toán nâng cao giúp các bạn ôn tập và rèn luyện kiến thức:

Bài 1. Làm tính nhân

a) \(3x (5x^2 – 2x -1)\)

b) (\(x^2 + 2xy – 3)(-xy)\)

c: \(\frac{1}{2} x^{2} y\left(2 x^{3}-\frac{2}{5} x y^{2}-1\right)\)

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(x(2x^2-3) – x^2(5x+1)+x^2\)

b) \(3x (x-2)-5x(1-x)-8(x^2-3)\)

c) \(\frac{1}{2} x^{2}(6 x-3)-x\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}(x+4)\)

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(P=5x(x^2-3)+x^2(7-5x)-7x^2\) tại \(x=-5\)

b) \(Q=x(x-y)+y(x-y)\) tại \(x=1,5\) và \(y=10\)

Bài 4: Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) \(x(5x-3)-x^2(x-1)+x(x^2-6x)-10+3x\)

b) \(x(x^2+x+1)-x^2(x+1)-x+5\)

Bài 5: Tìm \(x\) biết

\(2x(x-5)-x(3+2x)=26\)

Nếu gặp khó khăn các em có thể xem tiếp tài liệu hướng dẫn giải các bài tập nhân đa thức với đa thức nâng cao.

Ghi nhớ

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Công thức: Cho A, B, C, D là các đơn thức, ta có:  \(A(B+C-D) = AB+AC-AD\)

Chúc các em học tập tốt!