Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 11, 14, 16 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết những hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8

Kiến thức lý thuyết 7 hằng đẳng thức cần ghi nhớ

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích hai biểu thức đó cộng bình phương biểu thức thứ hai.

\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(A,B\) là các biểu thức tùy ý.

2. Bình phương của một hiệu

Bình phương của hiệu hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất trừ hai lần tích hai biểu thức đó cộng bình phương biểu thức thứ hai.

\({\left( {A – B} \right)^2} = {A^2} – 2AB + {B^2}\)

\(A,B\) là các biểu thức tùy ý.

3. Hiệu của hai bình phương

Hiệu của bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.

\({A^2} – {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right)\)

\(A,B\) là các biểu thức tùy ý.

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của tổng hai biểu thức bằng tổng của lập phương biểu thức thứ nhất, ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai và lập phương biểu thức thứ hai.

\({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

5. Lập phương của một hiệu

Lập phương của hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, sau đó cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ đi lập phương biểu thức thứ hai.

\({\left( {A – B} \right)^3} = {A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3}\)

6. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

\({A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)({A^2} – AB + {B^2})\)

7. Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

\({A^3} – {B^3} = \left( {A – B} \right)({A^2} + AB + {B^2})\)

Các dạng toán thường gặp

Các dạng toán hằng đẳng thức hay gặp nhất và phương pháp giải, ví dụ mẫu chi tiết

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.

Các ví dụ

Ví dụ 1:

Rút gọn biểu thức: \(C = {x^2} – 10xy + 25{y^2} – {\left( {x – 5y} \right)^2}\)

Ta có:

\(C={{x}^{2}}-10xy+25{{y}^{2}}-{{\left( x-5y \right)}^{2}}\)\(={{x}^{2}}-2.x.5y+{{\left( 5y \right)}^{2}}-{{\left( x-5y \right)}^{2}}\)\(={{\left( x-5y \right)}^{2}}-{{\left( x-5y \right)}^{2}}=0\)

Ví dụ 2:

Rút gọn và tính giá trị biểu thức \(A={x^3} – {x^2}y + \dfrac{1}{3}x{y^2} – \dfrac{1}{{27}}{y^3}\) tại \(x = 2\) và \(y = 3\)

Ta có:

\(A={{x}^{3}}-{{x}^{2}}y+\dfrac{1}{3}x{{y}^{2}}-\dfrac{1}{27}{{y}^{3}}\)\(={{x}^{3}}-3.{{x}^{2}}.\dfrac{1}{3}y+3.x.{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}\)\(={{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}\)

Tại \(x=2,y=3\) ta có: \(A={{\left( x-\dfrac{1}{3}y \right)}^{3}}\)\(={{\left( 2-\dfrac{1}{3}.3 \right)}^{3}}={{1}^{3}}=1\)

Ví dụ 3:

Rút gọn biểu thức \(\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\)

Ta có: \(\left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) \)\(= \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x.1 + {1^2}} \right) = {x^3} – 1\)

Dạng 2: Tìm \({\bf{x}}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp

Các ví dụ

Ví dụ 1:

ìm \(x\) biết:  \({\left( {x + 4} \right)^2} – \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 16\).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} – \left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.4 + {4^2} – \left( {{x^2} – 1} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 – {x^2} + 1 = 16\\ \Leftrightarrow 8x = 16 – 16 – 1\\ \Leftrightarrow 8x = – 1\\ \Leftrightarrow x = – \dfrac{1}{8}\end{array}\)

Ví dụ 2:

Tìm x biết \({x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = 27\)

Ta có:   

\(\begin{array}{l}
{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 = 27\\
\Rightarrow {x^3} + 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} + {2^3} = 27\\
\Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} = 27\\
\Rightarrow x + 2 = 3\\
\Rightarrow x = 1
\end{array}\)

Ví dụ 3:

Tìm \(x\) biết \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right) = 8\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} – 2x + 4} \right) = 8\\
\Rightarrow {x^3} + {2^3} = 8\\
\Rightarrow {x^3} + 8 = 8\\
\Rightarrow {x^3} = 0\\
\Rightarrow x = 0
\end{array}\)

Bài tập những hằng đẳng thức đáng nhớ

Hướng dẫn giải bài tập các trang 11, 14, 16 SGK Toán 8 tập 1:

Giải toán 8 trang 11

Bài 16 (trang 11 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\)

b) \(9x^2 + y^2 + 6xy = (3x)^2 + 6xy + y^2 = (3x + y)^2\)

c) \(25a^2 + 4b^2 – 20ab = 25a^2 – 20ab + 4b^2 = (5a – 2b)^2\)

d) \(x^2 – x + \dfrac{1}{4} = \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2\)

Bài 17 (trang 11 SGK Toán 8 tập 1)

Ta có: \((10a + 5)^2 = (10a)^2 + 2.10a.5 + 5^2 = 100a^2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25\)

Cách tính nhẩm bình phương của một số có tận cùng bằng chữ số 5 :

Ta gọi \(a\) là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng \(5 \Rightarrow\) số đã cho có dạng \(10a + 5\) và ta được:
\((10a + 5)^2 = 100a(a + 1) + 25\)

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số \(5\) ta tính tích \(a(a + 1)\) rồi viết \(25\) vào bên phải.

Áp dụng:

Để tính \(25^2\) ta tính \(2(2 + 1) = 6\) rồi viết tiếp \(25\) vào bên phải ta được \(625.\)

Để tính \(35^2\) ta tính \(3(3 + 1) = 12\) rồi viết tiếp \(25\) vào bên phải ta được \(1225.\)

\( 65^2 = 4225\)
   
\( 75^2 = 5625\)

Bài 18 (trang 11 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(x^2 + 2.x.3y + … = (… + 3y)^2\)

\(x^2 + 2.x.3y + (3y)^2 = ( x + 3y)^2\)

Vậy: \(x^2 + 6xy + 9y^2 = ( x + 3y)^2\)

b) \(… – 2.x.5y + (5y)^2 = (… – …)^2\)

\(x^2 – 2.x.5y + (5y)^2 = ( x – 5y)^2\)

Vậy: \(x^2 – 10xy + 25y^2 = (x – 5y)^2\)

c) Đề bài tương tự: Chẳng hạn:

\(9x^2 + 6x + … = (… + 1)^2\)

\(… – 20xy + 4y^2 = (… – …)^2\)

Bài 19 (trang 11 SGK Toán 8 tập 1)

Diện tích của miếng tôn là \((a + b)^2.\)

Diện tích của miếng tôn phải cắt là: \((a – b)^2.\)

Phần diện tích còn lại \((a + b)^2 – (a – b)^2.\)

Ta có:

\((a + b)^2 – (a – b)^2\\= a^2 + 2ab + b^2 – ( a^2 – 2ab + b^2 ) \\= a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + 2ab – b^2 \\= 4ab\)

Vậy phần diện tích hình còn lại là \(4ab\) và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Giải toán 8 trang 14

Bài 26 (trang 14 SGK Toán 8 tập 1)

a) \((2x^2 + 3y)^3\)

\(= (2x^2)^3 + 3.(2x^2)^2.3y + 3.2x^2.(3y)^2 + (3y)^3\)

\(= 8x^6 + 36x^4y + 54x^2y^2 + 27y^3\)

b) \(\left(\dfrac{1}{2}x -3\right)^3\)

\(= \left(\dfrac{1}{2}x\right)^3 – 3. \left(\dfrac{1}{2}x\right)^2.3 + 3. \dfrac{1}{2}x.3^2 – 3^3\)

\(=\dfrac{1}{8}x^3 – \dfrac{9}{4}x^2 + \dfrac{27}{2}x – 27\)

Bài 27 (trang 14 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(-x^3 + 3x^2 – 3x + 1 = 1 – 3.1^2.x + 3.1.x^2 – x^3 = (1 – x)^3\)

b) \(8 – 12x + 6x^2 – x^3 = 2^3 – 3.2^2.x + 3.2.x^2 – x^3 = (2 – x)^3\)

Bài 28 (trang 14 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(x^3 + 12x^2 + 48x + 64 = x^3 + 3.x^2.4 + 3.x.4^2 + 4^3 = (x + 4)^3\)

Với \(x = 6\) thì giá trị biểu thức là \((6 + 4)^3 = 10^3 = 1000.\)

b) \(x^3 – 6x^2 + 12x – 8 = x^3 – 3.x^2.2 + 3.x.2^2 – 2^3 = (x – 2)^3\)

Với \(x = 22\) thì giá trị biểu thức là \((22 – 2)^3 = 20^3 = 8000\)

Bài 29 (trang 14 SGK Toán 8 tập 1)

Ta có:

\(N:\, x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = x^3 – 3.x^2.1 + 3.x.1^2 – 1^3 = (x – 1)^3\)
\(U: \,16 + 8x + x^2 = 4^2 + 2.4.x + x^2 = (4 + x)^2 = (x + 4)^2\)
\(H: \,3x^2 + 3x + 1 + x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = (x + 1)^3 = (1 + x)^3\)
\(Â:\, 1 – 2y + y^2 = 1^2 – 2.1.y + y^2 = (1 – y)^2 = (y – 1)^2\)

Điền vào bảng như sau:

\((x – 1)^3\)\((x + 1)^3\)\((y – 1)^3\)\((x – 1)^3\)\((1 + x)^3\)\((1 – y)^3\)\((x + 4)^3\)
\(N\)\(H\)\(Â\)\(N\)\(H\)\(Â\)\(U\)

Vậy: Đức tính đáng quý là “NHÂN HẬU”

Giải toán 8 trang 16

Bài 30 (trang 16 SGK Toán 8 tập 1)

a) \((x + 3)(x^2 – 3x + 9) – (54 + x^3)\)
\(= ( x + 3)(x^2 – 3.x + 3^2) – (54 + x^3)\)
\(= x^3 + 3^3 – (54 + x^3)\)
\(= x^3 + 27 – 54 – x^3\)
\(= -27\)

b) \((2x + y)(4x^2 – 2xy + y^2) – (2x – y)(4x^2 + 2xy + y^2)\)
\(= (2x + y)[(2x)^2 – 2x.y + y^2] – (2x – y)[(2x)^2 + 2x.y + y^2]\)
\(= [(2x)^3 + y^3] – [(2x)^3 – y^3]\)
\(= (2x)^3 + y^3 – (2x)^3 + y^3\)
\(= 2y^3\)

Bài 31 (trang 16 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)

Biến đổi vế phải:

\((a + b)^3 – 3ab(a + b)\)
\(= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 – 3a^2b – 3ab^2\)
\(= a^3 + b^3\)

Vậy \(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)

b) \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)

Biến đổi vế phải:

\((a – b)^3 + 3ab(a – b)\)
\(= a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 + 3a^2b – 3ab^2\)
\(= a^3 – b^3\)

Vậy \(a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a – b)\)

Áp dụng: Với \(ab = 6,\, a + b = – 5,\) ta được:

\(a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b)\)
\(= (-5)^3 – 3.6.(-5) \)
\(= -5^3 + 3.6.5\)
\(= -125 + 90 \)
\(= -35\)

Bài 32 (trang 16 SGK Toán 8 tập 1)

a) Ta có: 

\(27x^3 + y^3 \)
\(= (3x)^3 + y^3 \)
\(= (3x + y)[(3x)^2 – 3xy + y^2]\)
\(= (3x + y)(9x^2 – 3xy + y^2)\)

Nên ta được các đơn thức điền vào ô trống như sau:

\((2x + y)(\color{blue} {9x^2} – \color{blue} {3xy} +\color{blue} {y^2}) = 27x^3 + y^3\)

b) \(8x^3 – 125\)
\(= (2x)^3 – 5^3\)
\(= (2x – 5)[(2x)^2 +10x + 25]\)
\(= (2x – 5)(4x^2 + 10x + 25)\)

Nên ta được các đơn thức điền vào ô trống như sau:

\((2x + y)(\color{blue} {4x^2} + \color{blue} {10x} + \color{blue} {25}) = 27x^3 + y^3\)

Bài tập những hằng đẳng thức đáng nhớ nâng cao

Các bài toán nâng cao giúp các em ôn tập và rèn luyện

Bài 1: Tính

a) \((x+2y)^2\)

b) \((x-3y)(x+3y)\)

c) \((5-x)^2\)

Bài 2: Tính

a) \((x-1)^2\)

b) \((3-y)^2\)

c) \((x-\frac{1}{2})^2\)

Bài 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng

a) \(x^2 +6x +9\)

b) \(x^2+x+\frac{1}{4}\)

c) \(2xy^2 + x^2y4+1\)

Bài 4: Rút gọn biểu thức

a) \((x+y)^2 +(x-y^2)\)

b) \(2(x-y)(x+y)+(x+y)^2+(x-y)^2\)

c: \((x-y+z)^2 + (z-y)^2 + 2(x-y+z)(y-z)\)

Bài 5: Biết số tự nhiên \(a\) chi cho \(5\) dư \(4\). Chứng minh rằng \(a^2\) chia cho \(5\) dư \(1\)

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau

a) \(x^2-y^2\) tại \(x-87\) và \(y=13\)

b) \(x^3-3x^2+3x-1\) tại \(x=101\)

c) \(x^3 + 9x^2 + 27x +27 \) tại \(x=97\)

Bài 7: Chứng minh rằng

a) \(a+b)(a^2-ab+b^2)+(a-b)(a^2+ab+b^2)=2a^3\)

b) \( a^3 + b^3 = (a+b)[(a-b)^2+ab]\)

c) \((a^2+b^2)(c^2)+d^2 ) = (ac+bd)^2+(ad-bc)^2\)

Bài 8: Chứng tỏ rằng

\(x^2 – 6x + 10 >0\) với mọi \(x\)

b) \( 4x-x^2-5<0\) với mọi \(x\)

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức

a) \(P=x^2-2x+5\)

b) \(Q=2x^2-6x\)

c) \(M=x^2 + y^2 -x +6y+10\)

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức

a) \(A=4x-x^2+3\)

b) \(B=x-x^2\)

c) \(N-2x-2x^2-5\)

Ghi nhớ

Ta có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

\(1.{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(2.{\left( {A – B} \right)^2} = {A^2} – 2AB + {B^2}\)

\(3.{A^2} – {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right)\)

\(4.{\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

\(5.{\left( {A – B} \right)^3} = {A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3}\)

\(6.{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)({A^2} – AB + {B^2})\)

\(7.{A^3} – {B^3} = \left( {A – B} \right)({A^2} + AB + {B^2})\)

Chúc các em học tốt và đạt điểm cao với những hằng đẳng thức.