Lý thuyết phân thức đại số, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 36 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết phân thức đại số

Các kiến thức cơ bản cần nắm vững.

Phân thức đại số là gì?

Phân thức đại số à một biểu thức có dạng \( \dfrac{A}{B}\), trong đó \(A, B\) là những đa thức \(B ≠ 0, A\) là tử thức, \(B\) là mẫu thức.

Đặc biệt: Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng \(1.\)

Hai phân thức bằng nhau

Với hai phân thức \( \dfrac{A}{B}\) và \( \dfrac{C}{D}\) gọi là bằng nhau nếu: \(AD = BC\)

Ta viết: \( \dfrac{A}{B}=  \dfrac{C}{D}\) nếu \(AD = BC\).

Bài tập phân thức đại số

Hướng dẫn giải toán 8 trang 36 (sách giáo khoa Toán tập 1):

Bài 1 trang 36 SGK Toán 8 tập 1

a) Ta có:

\(5y.28x = 140xy\)

\(7.20xy = 140xy\)

\(\Rightarrow 5y.28x = 7.20xy\)

Vậy \(\dfrac{5y}{7} = \dfrac{20xy}{28x}\)

b) Ta có:

\(2(x + 5).3x = 6x^2 + 30x\)

\(3x.2(x + 5) = 6x^2 + 30x\)

\(\Rightarrow 2(x + 5).3x = 3x.2(x + 5)\)

Vậy \(\dfrac{3x(x + 5)}{2(x + 5)} = \dfrac{3x}{2}\)

c) Ta có:

\((x – 1)(x + 2)(x + 1) = (x^2 – 1)(x + 2)\)

Vậy \(\dfrac{x + 2}{x – 1} = \dfrac{(x + 2)(x + 1)}{x^2 – 1}\)

d) Ta có:

\((x^2 – x – 2)(x – 1) = x^3 – x^2 – x^2 + x – 2x + 2 = x^3 – 2x^2 – x + 2\)

\((x + 1)(x^2 – 3x + 2) = x^3 – 3x^2 + 2x + x^2 – 3x + 2 = x^3 – 2x^2 – x + 2\)

\( \Rightarrow (x^2 – x – 2)(x – 1) = (x + 1)(x^2 – 3x + 2)\)

 Vậy \(\dfrac{x^2 – x – 2}{x + 1} = \dfrac{x^2 – 3x + 2}{x – 1}\)
 
 e) Ta có:
\( x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)\)

 Vậy \(\dfrac{x^3 + 8}{x^2 – 2x + 4} = x + 2\)

Bài 2 trang 36 SGK Toán 8 tập 1

Ta có: 

\((x^2 – 2x – 3).x = x^3 – 2x^2 – 3x\)

\((x^2 + x)(x – 3) = x^3 – 3x^2 + x^2 – 3x = x^3 – 2x^2 – 3x\)

\( \Rightarrow (x^2 – 2x – 3).x = (x^2 + x)(x – 3)\)

 Vậy \(\dfrac{x^2 – 2x – 3}{x^2 + x} = \dfrac{x – 3}{x} \,\,\,(1)\)
 
 Ta có:
 
 \((x – 3)(x^2 – x) = x^3 – x^2 – 3x^2 + 3x = x^3 – 4x^2 + 3x\)
 
\( x(x^2 – 4x + 3) = x^3 – 4x^2 + 3x\)

\( \Rightarrow (x – 3)(x^2 – x) = x(x^2 – 4x + 3)\)

 Vậy \(\dfrac{x – 3}{x} = \dfrac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – x} \,\,\, (2)\)
 
 Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow \dfrac{x^2 – 2x – 3}{x^2 + x}= \dfrac{x – 3}{x}=\dfrac{x^2 – 4x + 3}{x^2 – x}\)

Bài 3 trang 36 SGK Toán 8 tập 1

Ta có: 

\((….)(x – 4) = x.(x^2 – 16) = x(x + 4)(x – 4) = (x^2 + 4x)(x – 4)\)

Vậy phải điền vào chỗ trống đa thức: \(x^2 + 4x\)

Bài tập phân thức đại số nâng cao

Các bài tập giúp bạn luyện tập và nắm vững các kiến thức đã học:

Bài 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

a) \( \frac{x^2y^3}{5} = \frac{7x^3y^4}{35xy} \)

b) \( \frac{x^2(x + 2)}{x(x + 2)^2} = \frac{x}{x + 2} \)

c) \( \frac{3-x}{3 + x} = \frac{x^2- 6x + 9}{9 – x^2} \)

d) \(frac{x^3 – 4x}{10 – 5x} = frac{-x^2 – 2x}{5}

Bài 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức \(A\) trong mỗi đẳng thức sau

a) \( frac{A}{2x – 1} = frac{6x^2 + 3x}{4x^2 – 1} \)

b) \( frac{x + 1}{x + 3} = frac{x^2 + 3}{x^2 + 6x + 9} \)

c) \( frac{2x^2 – 5x + 3}{x^2 + 5x + 4}

Bài 3: Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng.

a) \(frac{5x+3}{x-2} = frac{5x^3+13x+6}{x^2-4}\)

b) \(frac{x+1}{x+3} = frac{x^2 + 3}{x^2 + 6x + 9}\)

c) \(frac{x^2-2}{x^2-1} = frac{x + 2}{x + 1} \)

d) \( frac{2x^2 – 5x + 3}{x^2 + 3x -4} = frac{2x^2 – x – 3}{x^2 + 5x + 4}

Ghi nhớ

Định nghĩa phân thức đại số

Phân thức đại số ( phân thức ) là một biểu thức có dạng \( \dfrac{A}{B}\), trong đó \(A, B\) là những đa thức \(B ≠ 0, A\) là tử thức, \(B\) là mẫu thức.

Đặc biệt: Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng \(1.\)

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao…