Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hướng dẫn giải bài tập trang 19 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Các kiến thức cần ghi nhớ:

Khái niệm

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử

Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải phương trình.

Phương pháp đặt nhân tử chung

– Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

– Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý với tính chất \(A =  – \left( { – A} \right)\))

Ví dụ

\(\begin{array}{l}
5x + {x^2}\\
= 5x + x.x\\
= x\left( {5 + x} \right)
\end{array}\)

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

Hướng dẫn giải toán 8 trang 19 sách giáo khoa Toán tập 1:

Bài 39 (trang 19 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(3x – 6y = 3.x – 3.2y = 3(x – 2y)\)

b) \(\dfrac{2}{5}x^2 + 5x^3 + x^2y = x^2(\dfrac{2}{5} + 5x + y)\)

c) \(14x^2y – 21xy^2 + 28x^2y^2\)
\(= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy\)
\(= 7xy(2x – 3y + 4xy)\)

d) \(\dfrac{2}{5}x(y – 1) – \dfrac{2}{5}y(y – 1) = \dfrac{2}{5}(y – 1)(x – y)\)

e) \(10x(x – y) – 8y(y – x)\)
\(= 10x(x – y) – 8y[( – (x – y)]\)
\(= 10x(x – y) + 8y(x – y)\)
\(= 2(x – y)(5x + 4y)\)

Bài 40 (trang 19 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(15.91,5 + 150.0,85 \)
\(= 15.91,5 + 15.8,5\)
\(= 15(91,5 + 8,5) \)
\(= 15.100 \)
\(= 1500\)

b) \(x(x – 1) – y(1 – x)\)
\(= x(x – 1) – y[-(x – 1)]\)
\(= x(x – 1) + y(x – 1)\)
\(= (x – 1)(x + y)\)
Thay \(x = 2001,\, y = 1999\) vào biểu thức, ta được:
\((2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000\)

Bài 41 (trang 19 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(5x(x – 2000) – x + 2000 = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x(x – 2000) -(x – 2000) = 0\)
\(\Leftrightarrow (x – 2000).(5x – 1) = 0\)
\(\Rightarrow x – 2000 = 0\) hoặc \(5x – 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 2000\) hoặc \(x = \dfrac{1}{5}\)

b) \(x^3 – 13x = 0\)
\(\Leftrightarrow x ( x^2 – 13) = 0\)
\(\Rightarrow x = 0\) hoặc \(x^2 – 13 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x^2 = 13\)
\(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm \sqrt{13}\)

Bài 42 (trang 19 SGK Toán 8 tập 1)

Ta có \(55^{n + 1} – 55^n = 55^n.55 – 55^n = 55^n(55 – 1) = 55^n.54\)

Vì \(54\) chia hết cho \(54\) nên \(55^n.54\) luôn chia hết cho \(54\) với \(n\) là số tự nhiên.

Vậy \(55^{n + 1} – 55^n\) chia hết cho \(54.\)

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung nâng cao

Các bài toán nâng cao giúp các em ôn tập kiến thức và rèn luyện:

Bài 1: Tính nhanh

a) \(85\times12,7+5\times3\times12,7\)

b) \(52 \times 143-52\times39-8\times26 \)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

a) \(5x-20y\)

b) \(5x(x-1)-3x(x-1)\)

c) \(x(x+y)-5x-5y\)

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(x^2+xy+x\) tại \(x=77\) và \(y-22\)

b) \(x(x-y)+y(y-x)\) tại \(x=53\) và \(3\)

Bài 4: Tìm \(x\), biết

a) \(x+5^2=0\)

b) \(x+1=(x+1)^2\)

c) \(x^3+x=0\)

Bài 5: Chứng minh rằng \(n^2(n+1)+2n(n+1) luôn chia hết cho \(6\) với mọi số nguyên \(n\)

Ghi nhớ

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Phương pháp đặt nhân tử chung

– Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngoài dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.

– Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử chung.

Chúc các em học tốt và đạt điểm cao với các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung