Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức và hướng dẫn giải bài tập trang 20 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Các kiến thức cần ghi nhớ:

Trước hết chúng ta cần nhớ lại 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã học trong các bài học trước.

\(1.{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

\(2.{\left( {A – B} \right)^2} = {A^2} – 2AB + {B^2}\)

\(3.{A^2} – {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A – B} \right)\)

\(4.{\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)

\(5.{\left( {A – B} \right)^3} = {A^3} – 3{A^2}B + 3A{B^2} – {B^3}\)

\(6.{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)({A^2} – AB + {B^2})\)

\(7.{A^3} – {B^3} = \left( {A – B} \right)({A^2} + AB + {B^2})\)

Ta có thể nhận thấy rằng mỗi vế của hằng đẳng thức đều là những nhân tử nên ta có thể sử dụng 7 hằng đẳng thức này để phân tích đa thức thành nhân tử.

Đưa đa thức cần phân tích về dưới dạng của hằng đẳng thức, rồi phân tích thành nhân tử bằng các hằng đẳng thức.

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

Hướng dẫn giải bài tập trang 20 sách giáo khoa toán 8 tập 1:

Bài 43 (Trang 20 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(x^2 + 6x + 9\)
\(= x^2 + 2.x.3 + 3^2\)
\(= (x + 3)^2\)

b) \(10x – 25 – x^2\)
\(= -(-10x + 25 + x^2)\)
\(= -(25 -10x + x^2)\)
\(= -(5^2 – 2.5.x + x^2)\)
\(= -(5 – x)^2\)

c) \(8x^3 – \dfrac{1}{8}\)
\(= (2x)^3 – \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\)
\(= \left(2x – \dfrac{1}{2}\right) \left[(2x)^2 + 2.x.\dfrac{1}{2} +\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \right]\)
\(= \left(2x – \dfrac{1}{2}\right)\left(4x^2 + x+\dfrac{1}{4} \right)\)

d) \(\dfrac{1}{25}x^2 – 64y^2 \)
\(= \left(\dfrac{1}{5}x\right)^2 – (8y)^2\)
\(= \left(\dfrac{1}{5}x – 8y\right)\left(\dfrac{1}{5}x + 8y\right)\)

Bài 44 (Trang 20 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(x^3 + \dfrac{1}{27}\)
\(= x^3 – \left(\dfrac{1}{3}\right)^3\)
\(= \left(x – \dfrac{1}{3}\right) \left[x^2 + x.\dfrac{1}{3} +\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \right]\)
\(= \left(x – \dfrac{1}{3}\right)\left(x^2 + \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9} \right)\)

b) \((a + b)^3 – (a – b)^3\)
\(= [(a + b) – (a – b)][(a + b)^2 + (a + b).(a – b) + (a – b)^2]\)
\(= (a + b – a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 – b^2+ a^2 – 2ab + b^2)\)
\(= 2b.(3a^2+ b^2)\)

c) \((a + b)^3 + (a – b)^3\)
\(= [(a + b) + (a – b)][(a + b)^2 – (a + b)(a -b) + (a – b)^2]\)
\(= (a + b – a + b)(a^2 + 2ab + b^2 – a^2 + b^2 + a^2 – 2ab + b^2)\)
\(= 2a.(a^2 + 3b^2)\)

d) \(8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3\)
\(= (2x)^3 + 3.(2x)^2.y + 3.2x.y^2 + y^3\)
\(= (2x + y)^3\)

e) \(-x^3 + 9x^2 -27x + 27\)
\(= 27 – 27x + 9x^2 – x^3\)
\(= 3^3 – 3.3^2.x + 3.3.x^2 – x^3\)
\(= (3 – x)^3\)

Bài 45 (Trang 20 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(2 – 25x^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{2})^2 – (5x)^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{2} – 5x)(\sqrt{2} + 5x ) = 0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt{2} – 5x = 0 \\ \sqrt{2} + 5x = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 5x = \sqrt{2} \\ 5x = -\sqrt{2} \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\sqrt{2}}{5} \\ x = -\dfrac{\sqrt{2}}{5} \end{array} \right.\)

b) \(x^2 – x + \dfrac{1}{4} = 0\)
\(\Leftrightarrow x^2 – 2.x. \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left(x – \dfrac{1}{2}\right)^2 = 0\)
\(\Leftrightarrow x – \dfrac{1}{2} = 0\)
\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)

Bài 46 (Trang 21 SGK Toán 8 tập 1)

a) \(73^2 – 27^2 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600\)

b) \(37^2 – 13^2 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 50.2.12 = 100.12 = 1200\)

c) \(2002^2 – 2^2 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000\)

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp các em ôn tập các kiến thức đã được học

Bài 1: Phân tích thành nhân tử

a) \(x^2 – 9\)

b) \(4x^2 – 25\)

c) \(c^6-y^6\)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

a) \(9x^2 + 6xy +y^2\)

b) \(6x-9-x^3\)

c) \(x^2 + 4y^2 + 4xy\)

Bài 3: Phân tích thành nhân tử

a) \((x+y^2) – (x-y)^2 \)

b) \(3x+1)^2 – (x+1)^2\)

c) \(x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz\)

Bài 4: Tính nhanh

a) \(25^2 – 15^2\)

b) \(87^2 + 73^2 – 27^2 – 13^2\)

Bài 5: Tìm \(x\), biết

a) \(x^3 – 0,25x =0\)

b) \(x^2 – 10x = -25\)

Chúc các em học tốt và đạt điểm cao cho các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức