Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử và hướng dẫn giải bài tập trang 22 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Các kiến thức quan trọng cần ghi nhớ:

Phương pháp

– Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thể phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

– Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

Chú ý

– Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.

– Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (không còn phân tích được nữa).

– Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.

– Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 5y + xy + 5x\\
= \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {5x + 5y} \right)\\
= x\left( {x + y} \right) + 5\left( {x + y} \right)\\
= \left( {x + y} \right)\left( {x + 5} \right)
\end{array}\)

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử

Hướng dẫn giải bài tập trang 22 và 23 sách giáo khoa Toán 8 tập 1:

Bài 47 (Trang 22 Toán 8 tập 1)

a) \(x^2 – xy + x – y\)
\(= (x^2 – xy) + (x – y)\)
\(= x(x – y) + (x – y)\)
\(= (x – y)(x + 1)\)

b) \(xz + yz – 5(x + y)\)
\(= z(x + y) – 5(x + y)\)
\(= (x + y)(z – 5)\)

c) \(3x^2 – 3xy – 5x + 5y\)
\(= (3x^2 – 3xy) – (5x – 5y)\)
\(= 3x(x – y) – 5(x – y)\)
\(= (x – y)(3x – 5)\)

Bài 48 (Trang 22 Toán 8 tập 1)

a) \(x^2 + 4x – y^2 + 4\)
\(= (x^2 + 4x + 4) – y^2\)
\(= (x + 2)^2 – y^2\)
\(= (x + 2 – y)(x + 2 + y)\)

b) \(3x^2 + 6xy + 3y^2 – 3z^2\)
\(= 3[(x^2 + 2xy + y^2) – z^2]\)
\(= 3[(x + y)^2 – z^2]\)
\(= 3(x + y – z)(x+ y+z)\)

c) \(x^2 – 2xy + y^2 – z^2 + 2zt – t^2\)
\(= (x^2 – 2xy + y^2) – (z^2 – 2zt + t^2)\)
\(= (x – y)^2 – (z – t)^2\)
\(= [(x – y) – (z – t)].[(x – y) + (z – t)]\)
\(= (x – y – z + t)(x – y + z -t)\)

Bài 49 (Trang 22 Toán 8 tập 1)

a) \(37,5.6,5 – 7,5.3,4 – 6,6.7.5 + 3,5.37,5\)
\(= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5)\)
\(= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)\)
\(= 37,5.10 – 7,5.10\)
\(= 375 – 75 = 300\)

b) \(45^2 + 40^2 – 15^2 + 80.45\)
\(= 45^2 + 2.45.40 + 40^2 – 15^2\)
\(= (45 + 40)^2 – 15^2\)
\(= 85^2 – 15^2\)
\(= (85 – 15)(85 + 15)\)
\(= 70.100 \)
\(= 7000\)

Bài 50 (Trang 23 Toán 8 tập 1)

a) \(x(x – 2) + x – 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow (x – 2) (x + 1) = 0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x – 2 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = -1 \end{array} \right.\)

b) \(5x(x – 3) – x + 3 = 0\)
\(\Leftrightarrow 5x ( x – 3) – (x – 3) = 0\)
\(\Leftrightarrow (x – 3) (5x – 1) = 0\)
\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x – 3 = 0 \\ 5x – 1 = 0 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3 \\ 5x = 1 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 3 \\ x = \dfrac{1}{5} \end{array} \right.\)

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử nâng cao

Các bài tập giúp bạn ôn tập và rèn luyện lại các kiến thức đã học:

Bài 1: Phân tích thành nhân tử

a) \(x^2 -x -y^2 – y\)

b) \(x^2 – 2xy + y^2 – z^2 \)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

a)\(5x -5y + az – ay\)

b) \(a^3 – a^2x – ay +xy\)

c) \(xy (x+y) +yz (y+z) + xz (x+z) + 2xyz\)

Bài 3: Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức

a) \(x^2 -2xy – 4z^2 + y^2\) tại \(x=6 ; y=-4\) và \(z = 45\)

b) \(3x (x-3)(x+7)+ (x-4)^2 + 48\) tại \(x=0,5\)

Ghi nhớ

Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi không thể phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.

Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hoán và kết hợp các hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới phải xuất hiện nhân tử chung.

Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.

Chúc các em học tốt, đạt điểm cao các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.