Lý thuyết phép chia các phân thức đại số, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 54 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết phép chia các phân thức đại số

Các kiến thức quan trọng cần nhớ:

Phân thức nghịch đảo

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng \(1.\)

Nếu \( \dfrac{A}{B}\) là một phân thức khác \(0\) thì \( \dfrac{A}{B}. \dfrac{B}{A} = 1\)

Do đó: \( \dfrac{B}{A}\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \( \dfrac{A}{B}\)

          \( \dfrac{A}{B}\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \( \dfrac{B}{A}\)

Phép chia các phân thức đại số

Quy tắc:

Muốn chia phân thức \( \dfrac{A}{B}\) cho phân thức \( \dfrac{C}{D}\) khác \(0\), ta nhân \( \dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo \( \dfrac{C}{D}\):

\( \dfrac{A}{B} :  \dfrac{C}{D} =   \dfrac{A}{B}.  \dfrac{D}{C}\) với \( \dfrac{C}{D} ≠ 0\).

Bài tập phép chia các phân thức đại số

Hướng dẫn giải toán 8 trang 54 (Bài tập trang 54 và 55 SGK Toán tập 1):

Bài 42 trang 54 SGK Toán 8 tập 1

a) \(\left( { – \dfrac{{20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { – \dfrac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right) \)\(=\left( {  \dfrac{{-20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( {  \dfrac{{-4{x^3}}}{{5y}}} \right)\)

\(=\dfrac{-20x}{3y^{2}}.\dfrac{-5y}{4x^{3}}=\dfrac{(-20x).(-5y)}{3y^{2}.4x^{3}}\)\(=\dfrac{100xy}{12x^3y^2}=\dfrac{25}{3x^{2}y}\)

b) \( \dfrac{4x+12}{(x+4)^{2}}:\dfrac{3(x+3)}{x+4}\) 

\( =\dfrac{4(x+3)}{(x+4)^{2}}.\dfrac{x+4}{3(x+3)}\)

\(=\dfrac{4(x+3).(x+4)}{(x+4)^{2}.3(x+3)}=\dfrac{4}{3(x+4)}\)

Bài 43 trang 54 SGK Toán 8 tập 1

a) \( \dfrac{5x-10}{x^{2}+7}: (2x – 4)\)

\( =\dfrac{5x-10}{x^{2}+7}:\dfrac{2x-4}{1}\)

\(=\dfrac{5x-10}{x^{2}+7}.\dfrac{1}{2x-4}\)

\(=\dfrac{5(x-2)}{x^{2}+7}.\dfrac{1}{2(x-2)}\)

\( =\dfrac{5(x-2).1}{(x^{2}+7).2(x-2)}=\dfrac{5}{2(x^{2}+7)}\)

b)

\(({x^2} – 25): \dfrac{2x+10}{3x-7}\)

\( =\dfrac{x^{2}-25}{1}:\dfrac{2x+10}{3x-7}\)

\(=\dfrac{x^{2}-25}{1}.\dfrac{3x-7}{2x+10}\)

\(=\dfrac{(x-5)(x+5)}{1}.\dfrac{3x-7}{2(x+5)}\)

\( =\dfrac{(x-5)(x+5)(3x-7)}{2(x+5)}\)

\(=\dfrac{(x-5)(3x-7)}{2}\)

c)

\( \dfrac{x^{2}+x}{5x^{2}-10x+5}:\dfrac{3x+3}{5x-5}\)

\(=  \dfrac{x^{2}+x}{5x^{2}-10x+5}.\dfrac{5x-5}{3x+3}\)

\( = \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {{x^2} – 2x + 1} \right)}}.\dfrac{{5\left( {x – 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)}}\)

\(=\dfrac{x(x+1).5(x-1)}{5(x-1)^{2}.3(x+1)}=\dfrac{x}{3(x-1)}\)

Bài 44 trang 54 SGK Toán 8 tập 1

\(Q\) có vai trò như một thừa số chưa biết nên ta có:

\( \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x – 1}}.Q = \dfrac{{{x^2} – 4}}{{{x^2} – x}}\)

\( \Rightarrow  Q =  \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-x} :  \dfrac{x^{2}+2x}{x-1}\)

\(= \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-x}.  \dfrac{x-1}{x^{2}+2x}\)

\( =\dfrac{(x-2)(x+2)}{x(x-1)}.\dfrac{x-1}{x(x+2)}\)

\( =\dfrac{(x-2)(x+2)(x-1)}{x(x-1).x(x+2)}\)

\(=\dfrac{x-2}{x^{2}}\)

Bài 45 trang 55 SGK Toán 8 tập 1

Theo cách thực hiện một dãy phép chia ta có thể viết đẳng thức đã cho thành:

\( \dfrac{x}{x+1}.\dfrac{x+1}{x+2}.\dfrac{x+2}{x+3}…. = \dfrac{x}{x+6}\)

Ta có:

\( \dfrac{x}{x+1}.\dfrac{x+1}{x+2}.\dfrac{x+2}{x+3}.\dfrac{x+3}{x+4}.\dfrac{x+4}{x+5}.\dfrac{x+5}{x+6} = \dfrac{x}{x+6}\)

Vậy ta có thể điền như sau:

\( \frac{x}{x+1}:\frac{x+2}{x+1}:\frac{x+3}{x+2}:\frac{x+4}{x+3}:\frac{x+5}{x+4}:\frac{x+6}{x+5}=\frac{x}{x+6} \)

Có thể ra câu đố tương tự như sau:

\( \dfrac{x}{x+1}:\dfrac{x+2}{x+1}:\dfrac{x+3}{x+2}:…= \dfrac{x}{x+10}\)

Bài tập phép chia các phân thức đại số nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp các em ôn tập và rèn luyện kiến thức đã học:

Bài 1

a) \(\frac{7x+2}{3xy^3} : \frac{14x+4}{x^2y} = \frac{7x+2}{3xy^3} \times \frac{x^2y}{14x+4} = \frac{x}{6y^2} \)

b) \( \frac{8xy}{3x-1}: \frac{12xy^3}{5-15x} = \frac{8xy}{3x-1} \times \frac{5-15x}{12xy^3}= -\frac{10}{3y2}\)

c) \( (4x^2-16) : \frac{3x+6}{7x-2} = \frac{(x^2-16)(7x-2)}{3x+6}=\frac{4(x-2)(x-2)(7x-2)}{3(x+2)}\)
\(\frac{4(x-2)(7x-2)}{3}\)

d) \( \frac{3x^3+3}{x-1} : (x^2-x+1) =\frac{3(x+1)(x^2-x+1)}{(x-1)(x^2-x+1)0}=\frac{3(x+1)}{x-1}\)

Bài 2

a) \( \frac{4(x-3)}{3x^2-x} : \frac{x^2+3x}{1-3x} = \frac{4(x+3)}{x(3x-1)} \times \frac{1-3}{x(x+3)} = \frac{4}{x^2} \)

b) \( \frac{4x+6y}{x-1} : \frac{4x^2+12xy+9^2}{1-x^3} = \frac{2(2x+3y)}{x-1} \times \frac{(1-2)(1+x+x^2)}{(2x +3y)^2} \)
\(-\frac{2(x^2+x+1)}{2x+3y}\)

Bài 3

a) \(\frac{x^2+5x+3}{x^2+7x+12} : \frac{x^2-4x+4}{x^2+3x}\)
\(=\frac{x^2-2x-3x+6}{x^2+3x+4x+12} \times \frac{x(x+3)}{(x-2)^2}\)
\(= \frac{x(x+3)(x-2)(x-3)}{(x+3)(x+4)(x-2)^2}\)
\(= \frac{x(x-3)}{(x+4)(x-2)}\)

b) \(\frac{x^2+2x-3}{x^2+3x-10} : \frac{x^2+7×12}{x^2-9x+14} = \frac{x^2-x+3x-3}{x^2+5x-2x-10} \times \frac{x^2-2x-7x+14}{x^2+3x+4x+12}\)
\(= \frac{(x-1)(x+3)(x-2)(x-7)}{(x+5)(x-2)(x+3)(x+4)}\)
\(= \frac{(x-1) (x-7)}{(x+5)(x+4)} \)

Ghi nhớ

Quy tắc chia các phân thức đại số: 

Muốn chia phân thức \( \dfrac{A}{B}\) cho phân thức \( \dfrac{C}{D}\) khác \(0\), ta nhân \( \dfrac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo \( \dfrac{C}{D}\):

\( \dfrac{A}{B} :  \dfrac{C}{D} =   \dfrac{A}{B}.  \dfrac{D}{C}\) với \( \dfrac{C}{D} ≠ 0\).

Chúc các em học tốt và luôn đạt điểm cao…