Lý thuyết phép cộng các phân thức đại số, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 46 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết phép cộng các phân thức đại số

Các kiến thức quan trọng cần ghi nhớ

Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{B}=\dfrac{A+C}{B}\)

Cộng phân thức có mẫu thức khác mẫu thức

Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

\( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{D}=\dfrac{AD}{BD}+\dfrac{CB}{DB}=\dfrac{AD+BC}{BD}\)

Chú ý

Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất sau:

– Giao hoán: \( \dfrac{A}{B}+\dfrac{C}{D}=\dfrac{C}{D}+\dfrac{A}{B}\)

– Kết hợp: \(\left( {\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{D}} \right) + \dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B} + \left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right)\)

Bài tập phép cộng các phân thức đại số

Hướng dẫn giải toán 8 trang 46 (Giải bài tập trang 46 sách giáo khoa Toán 8 tập 1)

Bài 21 trang 46 SGK Toán tập 1

a) \(\dfrac{3x – 5}{7} + \dfrac{4x + 5}{7}\)

\(= \dfrac{3x – 5 + 4x + 5}{7} \)

\(= \dfrac{7x}{7} = x\)

b) \(\dfrac{5xy – 4y}{2x^2y^3} + \dfrac{3xy + 4y}{2x^2y^3}\)

\(= \dfrac{5xy – 4y + 3xy + 4y}{2x^2y^3} \)

\(= \dfrac{8xy }{2x^2y^3} \)

\(= \dfrac{4 }{xy^2} \)

c) \(\dfrac{x + 1}{x – 5} + \dfrac{x – 18}{x – 5} + \dfrac{x + 2}{x – 5}\)

\(= \dfrac{x + 1 + x – 18 + x + 2}{x – 5}\)

\(= \dfrac{3x -15}{x – 5}\)

\(= \dfrac{3(x -5)}{x – 5}\)

\(= 3\)

Bài 22 trang 46 SGK Toán tập 1

a) \(\dfrac{2x^2 – x}{x – 1} + \dfrac{x + 1}{1 – x} + \dfrac{2 – x^2}{x – 1}\)

\(=\dfrac{2x^2 – x}{x – 1} + \dfrac{-(x + 1)}{x – 1} + \dfrac{2 – x^2}{x – 1}\)

\(= \dfrac{(2x^2 – x) + [-(x + 1)] + (2 – x^2)}{x – 1} \)

\(= \dfrac{2x^2 – x – x – 1 + 2 – x^2}{x – 1} \)

\(= \dfrac{x^2 – 2x + 1 }{x – 1} \)

\(= \dfrac{(x – 1)^2 }{x – 1} = x – 1\)

b) \(\dfrac{4 – x^2}{x – 3} + \dfrac{2x – 2x^2}{3 – x} + \dfrac{5 – 4x}{x – 3}\)

\(= \dfrac{4 – x^2}{x – 3} + \dfrac{-(2x – 2x^2)}{x – 3} + \dfrac{5 – 4x}{x – 3}\)

\(= \dfrac{(4 – x^2) + [-(2x – 2x^2)] + (5 – 4x)}{x – 3} \)

\(= \dfrac{4 – x^2 – 2x + 2x^2 + 5 – 4x}{x – 3} \)

\(= \dfrac{x^2 – 6x + 9}{x – 3} \)

\(= \dfrac{(x – 3)^2}{x – 3} = x – 3\)

Bài 23 trang 46 SGK Toán tập 1

a) \(\dfrac{y}{2x^2 – xy} + \dfrac{4x}{y^2 – 2xy}\)

\(= \dfrac{y}{x(2x – y)} + \dfrac{-4x}{y(2x – y)}\)

\(= \dfrac{y^2}{xy(2x – y)} + \dfrac{-4x^2}{xy(2x – y)}\)

\(= \dfrac{y^2 – 4x^2}{xy(2x – y)} \)

\(= \dfrac{(y – 2x)(y + 2x)}{xy(2x – y)} \)

\(= \dfrac{-(2x – y)(y + 2x)}{xy(2x – y)} \)

\(= \dfrac{-(2x + y)}{xy} \)

b) \(\dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{3}{x^2 – 4} + \dfrac{x – 14}{(x^2 + 4x + 4)(x – 2)}\)

\(= \dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{3}{(x + 2)(x – 2)} + \dfrac{x – 14}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{(x + 2)(x – 2)}{(x + 2)(x + 2)(x – 2)} + \dfrac{3(x + 2)}{(x + 2)(x – 2(x + 2)} + \dfrac{x – 14}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{x^2 – 4}{(x + 2)^2(x – 2)} + \dfrac{3(x + 2)}{(x + 2)^2(x – 2)} + \dfrac{x – 14}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{x^2 – 4 + 3(x + 2) + x – 14}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{x^2 – 4 + 3x + 6 + x – 14}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{x^2 + 4x – 12}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{x^2 + 4x + 4 – 16}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{(x + 2)^2 – 16}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{(x + 2 + 4)(x + 2 – 4)}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{(x + 6)(x – 2)}{(x + 2)^2(x – 2)}\)

\(= \dfrac{x + 6}{(x + 2)^2}\)

c) \(\dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{1}{(x + 2)(4x + 7)} \)

\(= \dfrac{4x + 7}{(x + 2)(4x + 7)} + \dfrac{1}{(x + 2)(4x + 7)} \)

\(= \dfrac{4x + 7 + 1}{(x + 2)(4x + 7)} \)

\(= \dfrac{4x + 8}{(x + 2)(4x + 7)} \)

\(= \dfrac{4(x + 2)}{(x + 2)(4x + 7)} \)

\(= \dfrac{4}{4x + 7} \)

d) \(\dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{1}{(x + 3)(x + 2)} + \dfrac{1}{(x + 2)(4x + 7)}\) 

\(= \dfrac{(x + 2)(4x + 7)}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)} + \dfrac{4x + 7}{(x + 3)(x + 2)(4x + 7)} + \dfrac{x + 3}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)} \)

\(= \dfrac{(x + 2)(4x + 7) + 4x + 7 + x + 3}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)}\)

\(= \dfrac{4x^2 + 15x + 14 + 4x + 7 + x + 3}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)}\)

\(= \dfrac{4x^2 + 20x + 24}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)}\)

\(= \dfrac{4(x^2 + 5x + 6)}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)}\)

\(= \dfrac{4(x^2 + 2x + 3x + 6)}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)}\)

\(= \dfrac{4[x(x + 2) + 3(x + 2)]}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)}\)

\(= \dfrac{4(x + 2)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)(4x + 7)}\)

\(= \dfrac{4}{4x + 7}\)

Bài 24 trang 46 SGK Toán tập 1

– Thời gian lần thứ nhất mèo đuổi bắt được chuột là: \(\dfrac{3}{x}\)   (giây)

– Vận tốc để Mèo đuổi bắt được chuột lần thứ hai là: \(x – 0,5\) (\(m/s\))

– Thời gian lần thứ hai mèo đuổi bắt được chuột là: \(\dfrac{5}{x – 0,5}\)   (giây)

– Thời gian để mèo nghỉ để vờn chuột và chờ đuổi bắt chuột lần thứ hai là:

\(40 + 15 = 55\) (giây)

– Vậy thời gian từ đầu đến khi kết thúc cuộc săn là:

\(\dfrac{3}{x} + \dfrac{5}{x – 0,5} + 55\)    (giây)

Bài tập phép cộng các phân thức đại số nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp các em rèn luyện làm tốt hơn các bài toán phép cộng các phân thức đại số:

Bài 1: Cộng các phân thức cùng mẫu thức

a) \( \frac{1-2x}{6x^3y}+ \frac{3+2y}{6x^3y} + \frac{2x-4}{6x^3y} \)

b) \(\frac{x^2-2}{x(x-1)^2} + \frac{2-x}{x(x-1)^2}\)

c) \(\frac{3x+1}{x^2-3x+1} + \frac{x^2-6x}{x^2-3x+1}\)

d) \(\frac{x^2+38x+4}{2x^2+17x+1} + \frac{3x^2-4x-2}{2x^2+17x+1}\)

Bài 2: Cộng các phân thức khác mẫu thức

a) \(\frac{5}{6x^2y} + \frac{7}{12xy^2} + \frac{11}{18xy}\)

b) \(\frac{4x+2}{15x^3y} + \frac{5y-3}{9x^2y} + \frac{x+1}{5xy^3}\)

c) \(\frac{3}{2x} + \frac{3x-3}{2x-1} + \frac{2x^2+1}{4x^2-2x}\)

d) \( \frac{x^3+2x}{x^3+1} + \frac{2x}{x^2-x+1} + \frac{1}{x+1}\)

Bài 3: Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng

a) \(\frac{4}{x+2} + \frac{2}{x-2}  +\frac{5x-6}{4-x^2}\)

b) \(\frac{1-3x}{2x} + \frac{3x-2}{2x-1} + \frac{3x-2}{2x- 4x^2}\)

c) \( \frac{1}{x^2+6x +9} + \frac{1}{6x-x^2-9} + \frac{x}{x^2 – 9} \)

d) \(\frac{x^2+2}{x^3-1} + \frac{2}{x^2+x+1} + \frac{1}{1-x}\)

e) \(\frac{x}{x-2y} + \frac{x}{x+2y} + \frac{4xy}{4y^2-x^2}\)

Bài 4: Cộng các phân thức

a) \( \frac{1}{(x-y)(y-z)} + \frac{1}{(y-z)(z-x)} + \frac{1}{(z-z)(x-y)} \)

b) \( \frac{4}{(y-z)(z-z) + \frac{3}{(y-x)(y-z)} + \frac{3}{(y-z)(x-z)}} \)

c) \( \frac{1}{x(x-y)(x-z)} + \frac{1}{y(y-z)(y-z)} + \frac{1}{z(z-x)(z-y)} \)

Bài 5: Làm tính cộng các các phân thức

a) \( \frac{11x+13}{3x-3} + \frac{15x+17}{4-4x} \)

b) \( \frac{2x+1}{2x^2-x} + \frac{32x^2}{1-4x^2} + \frac{1-2x}{2x^2+x} \)

c) \( \frac{1}{x^2+x+1} +  \frac{1}{x^2+x+1} + \frac{1}{x^2 – x} + \frac{2x}{1-x^3} \)

d) \( \frac{x^4}{1-x} + x^3 +x^2 + x +1 /)

Bài 6: Cho hai biểu thức

\( A = \frac{1}{x} + \( \frac{1}{x+5} + \( \frac{x-5} {x(x+5)} \)

\( B =\( \frac{3}{x+5} \)

Chứng tỏ rằng \(A=B\)

Chúc các bạn học tốt và luôn đạt nhiều kết quả cao!