Lý thuyết phép trừ các phân thức đại số, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 49 và 50 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết phép trừ các phân thức đại số

Các kiến thức cần ghi nhớ:

Phân thức đối

Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng \(0\).

Phân thức đối của phân thức \( \dfrac{A}{B}\) được kí hiệu là \( -\dfrac{A}{B}\)

Vậy \( -\dfrac{A}{B} =\dfrac{-A}{B}\) và \( -\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{B}\)

Phép trừ

Quy tắc: Muốn trừ phân thức \( \dfrac{A}{B}\) cho phân thức \( \dfrac{C}{D}\), ta cộng \( \dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của \( \dfrac{C}{D}\)

Vậy: \( \dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\left( { – \dfrac{C}{D}} \right)\).

Bài tập phép trừ các phân thức đại số

Hướng dẫn giải toán 8 trang 50 (Bài tập trang 49 và 50 SGK Toán 8 tập 1)

Bài 28 trang 49 SGK Toán 8 tập 1

a) \(-\dfrac{x^2 + 2}{1 – 5x} = \dfrac{x^2 + 2}{-(1 – 5x) } = \dfrac{x^2 + 2}{5x – 1}\)

b) \(-\dfrac{4x + 1}{5 – x} = \dfrac{4x + 1}{-(5 – x)} = \dfrac{4x + 1}{x – 5}\)

Bài 29 trang 50 SGK Toán 8 tập 1

a) \(\dfrac{4x – 1}{3x^2y} – \dfrac{7x – 1}{3x^2y}\)

\(= \dfrac{4x – 1}{3x^2y} + \dfrac{-(7x – 1)}{3x^2 – 1}\)

\(= \dfrac{4x – 1}{3x^2y} + \dfrac{-7x + 1}{3x^2 – 1}\)

\(= \dfrac{(4x – 1) + (-7x + 1)}{3x^2y}\)

\(= \dfrac{4x – 1 – 7x + 1}{3x^2y}\)

\(= \dfrac{-3x}{3x^2y}\)

\(= \dfrac{-1}{xy}\)

b) \(\dfrac{4x + 5}{2x – 1} – \dfrac{5 – 9x}{2x – 1}\)

\(= \dfrac{4x + 5}{2x – 1} + \dfrac{-(5 – 9x)}{2x – 1}\)

\(= \dfrac{4x + 5}{2x – 1} + \dfrac{-5 + 9x}{2x – 1}\)

\(= \dfrac{(4x + 5) + (-5 + 9x)}{2x – 1}\)

\(= \dfrac{4x + 5 – 5 + 9x}{2x – 1}\)

\(= \dfrac{13x}{2x – 1}\)

c) \(\dfrac{11x}{2x – 3} – \dfrac{x – 18}{3 – 2x}\)

\(= \dfrac{11x}{2x – 3} + \dfrac{x – 18}{-(3 – 2x)}\)

\(= \dfrac{11x}{2x – 3} + \dfrac{x – 18}{2x – 3}\)

\(= \dfrac{11x + x – 18}{2x – 3}\)

\(= \dfrac{12x – 18}{2x – 3} \)

\(= \dfrac{6(2x – 3)}{2x – 3} \)

\(= 6\)

d) \(\dfrac{2x – 7}{10x – 4} – \dfrac{3x + 5}{4 – 10x}\)

\(= \dfrac{2x – 7}{10x – 4} + \dfrac{3x + 5}{-(4 – 10x)}\)

\(= \dfrac{2x – 7}{10x – 4} + \dfrac{3x + 5}{10x – 4}\)

\(= \dfrac{2x – 7 + 3x + 5}{10x – 4}\)

\(= \dfrac{5x – 2}{2(5x – 2)}\)

\(= \dfrac{1}{2}\)

Bài 30 trang 50 SGK Toán 8 tập 1

a) \(\dfrac{3}{2x + 6} – \dfrac{x – 6}{2x^2 + 6x}\)
 
\(= \dfrac{3}{2(x + 3)} – \dfrac{x – 6}{2x(x + 3)}\)
 
\(= \dfrac{3x}{2x(x + 3)} + \dfrac{-(x – 6)}{2x(x + 3)}\)
 
\(= \dfrac{3x +[- (x – 6)]}{2x(x + 3)}\)
 
\(= \dfrac{3x + (-x + 6)}{2x(x + 3)}\)
 
\(= \dfrac{3x -x + 6}{2x(x + 3)}\)
 
\(= \dfrac{2x + 6}{2x(x + 3)}\)
 
\(= \dfrac{2(x + 3)}{2x(x + 3)} \)
 
\(= \dfrac{1}{x}\)
 
b) \(x^2 + 1 – \dfrac{x^4 – 3x^2 + 2}{x^2 – 1}\)
 
\(= \dfrac{(x^2 + 1)(x^2 – 1)}{x^2 – 1} + \dfrac{-(x^4 – 3x^2 + 2)}{x^2 – 1}\)
 
\(= \dfrac{x^4 – 1}{x^2 – 1} + \dfrac{-x^4 + 3x^2 – 2}{x^2 – 1}\)
 
\(= \dfrac{x^4 – 1 -x^4 + 3x^2 – 2}{x^2 – 1}\)
 
\(= \dfrac{3x^2 – 3}{x^2 – 1}\)
 
\(= \dfrac{3(x^2 – 1)}{x^2 – 1}\)
 
\(= 3\)

Bài 31 trang 50 SGK Toán 8 tập 1

a) \(\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x + 1}\)

\(= \dfrac{x + 1}{x(x + 1)} + \dfrac{-x}{x(x + 1)}\)

\(= \dfrac{x + 1 – x}{x(x + 1)} \)

\(= \dfrac{1}{x(x + 1)}\)

b) \(\dfrac{1}{xy – x^2} – \dfrac{1}{y^2 – xy}\)

\(= \dfrac{1}{x(y – x)} – \dfrac{1}{y(y – x)}\)

\(= \dfrac{y}{xy(y – x)} + \dfrac{-x}{xy(y – x)}\)

\(= \dfrac{y – x}{xy(y – x)}\)

\(= \dfrac{1}{xy}\)

Bài 32 trang 50 SGK Toán 8 tập 1

Áp dụng kết quả bài 31 trang 50 sgk toán 8 tập 1 ta có:

\(\dfrac{1}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x + 1}\)

\(\dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)} = \dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{1}{x + 2}\)

\(\dfrac{1}{(x + 2)(x + 3)} = \dfrac{1}{x + 2} – \dfrac{1}{x + 3}\)

\(\dfrac{1}{(x + 3)(x + 4)} = \dfrac{1}{x + 3} – \dfrac{1}{x + 4}\)

\(\dfrac{1}{(x + 4)(x + 5)} = \dfrac{1}{x + 4} – \dfrac{1}{x + 5}\)

\(\dfrac{1}{(x + 5)(x + 6)} = \dfrac{1}{x + 5} – \dfrac{1}{x + 6}\)

Vậy

\(\dfrac{1}{x(x + 1)} + \dfrac{1}{(x + 1)(x + 2)} + \dfrac{1}{(x + 2)(x + 3)} + \dfrac{1}{(x + 3)(x + 4)} + \dfrac{1}{(x + 4)(x + 5)} + \dfrac{1}{(x + 5)(x + 6)}\)

\(= \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 1} – \dfrac{1}{x + 2} + \dfrac{1}{x + 2} – \dfrac{1}{x + 3} + \dfrac{1}{x + 3} – \dfrac{1}{x + 4} + \dfrac{1}{x + 4} – \dfrac{1}{x + 5} + \dfrac{1}{x + 5} – \dfrac{1}{x + 6}\)

\(= \dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{x + 6}\)

\(= \dfrac{x + 6}{x(x + 6)} – \dfrac{x}{x(x + 6)}\)

\(= \dfrac{x + 6 – x}{x(x + 6)} \)

\(= \dfrac{6}{x(x + 6)} \)

Bài tập phép trừ các phân thức đại số nâng cao

Các bài toán nâng cao giúp bạn ôn tập kiến thức và rèn luyện cách giải toán phép trừ các phân thức đại số:

Bài 1: Làm tính trừ phân thức

a) \( \frac{3x-2}{2xy} – \frac{7x-4}{2xy} \)

b) \( \frac{3x+5}{4x^3y} – \frac{5-15x}{4x^3y} \)

c) \(\frac{4x+7}{2x+2} – \frac{3x+6}{2x+2}\)

d) \(\frac{9x+5}{2(x-1)(x+3)^2} – \frac{5x-7}{2(x-1)(x+3)^2}\)

e) \( \frac{xy}{x^2-y^2} – \frac{x^2}{y^2-x^2}\)

f) \(\frac{5x+y^2}{x^2y} – \frac{5x-x^2}{xy^2} \)

g) \( \frac{x}{5x+5} – \frac{x}{10x-10} \)

h) \(\frac{x+9}{x^2-9}-\frac{3}{x^2+3x}\)

Bài 2: Theo định nghĩa của phép trừ, khi viết

\(\frac{A}{B} – \frac{C}{D} – \frac{E}{F} \) có nghĩa là \(\frac{A}{B} + \frac{-C}{D} + \frac{-E}{F} \)

Áp dụng điều này để làm các phép tính sau:

a) \(\frac{1}{3x-2} – \frac{1}{3x+2} – \frac{3x-6}{4-9x^2}\)

b) \(\frac{18}{(x-3)(x^2-9)} – \frac{3}{x^2-6x+9} – \frac{x}{x^2 – 9}\)

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a)  \(\frac{3x^2+5+1}{x^3-1} – \frac{1-x}{x^2+x+1} – \frac{3}{x-1}\)

b) \(\frac{1}{x^2-x+1}+\frac{}{} +\frac{x^2+2}{x^3+1}\)

c) \( \frac{7}{x} – \frac{x}{x+6} + \frac{36}{x^2+6x} \)

Bài 4: Nếu mua lẻ thì giá một bút bi là \(x\) đồng. Nhưng nếu mua từ \(10\) bút trở lên thì giá mỗi bút rẻ hơn \(100\) đồng. Cô Dung dùng \(180000\) đồng để mua bút cho văn phòng. Hãy biểu diễn qua \(x\):

– Tổng số bút mua được khi mua lẻ;

– Số bút mua được nếu mua cùng một lúc, biết rằng giá tiền một bút không quá \(1200\) đồng;

– Số bút được lợi khi mua cùng một lúc so với khi mua lẻ.

Bài 5:

a) Chứng minh: \(\frac{1}{x} – \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x(x+1)} \)

b) Đố. Đố em tính nhẩm được tổng sau

\( \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+5)} + \frac{1}{x+5} \)

Ghi nhớ

Quy tắc trừ các phân thức đại số: Muốn trừ phân thức \( \dfrac{A}{B}\) cho phân thức \( \dfrac{C}{D}\), ta cộng \( \dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của \( \dfrac{C}{D}\)

Chúc các em học tốt và đạt điểm cao với môn Toán lớp 8.