Lý thuyết quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 43 SGK Toán 8 tập 1

Lý thuyết quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Các kiến thức cần ghi nhớ:

Tìm mẫu thức chung

– Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.

– Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

+ Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng)

+ Với mỗi cơ số của luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa với số mũ cao nhất

Quy đồng mẫu thức

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Bài tập quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Hướng dẫn giải 8 trang 43 (Bài tập trang 43 SGK Toán tập 1):

Bài 14 trang 43 SGK Toán tập 1

a) Ta có \(MTC = 12x^5y^4\)

Khi đó: 

\(\dfrac{5}{x^5y^3} = \dfrac{5.12y}{x^5y^3.12y} = \dfrac{60y}{12x^5y^4}\)

\( \dfrac{7}{12x^3y^4} = \dfrac{7.x^2}{12x^3y^4.x^2} = \dfrac{7x^2}{12x^5y^4}\)

b) Ta có: \(MTC = 60x^4y^5\)

Khi đó:

\(\dfrac{4}{15x^3y^5} = \dfrac{4.4x}{15x^3y^5.4x} = \dfrac{16x}{60x^4y^5}\)

\(\dfrac{11}{12x^4y^2} = \dfrac{11.5y^3}{12x^4y^2.5y^3} = \dfrac{55y^3}{60x^4y^5}\)

Bài 15 trang 43 SGK Toán tập 1

a) Ta có: \(2x + 6 = 2 (x + 3); \,\, x^2 – 9 = (x + 3)(x – 3)\)

Suy ra \(MTC = 2(x + 3)(x – 3)\)

Khi đó: 

\(\dfrac{5}{2x + 6} = \dfrac{5.(x – 3)}{2(x + 3)(x – 3)} \

\(\dfrac{3}{x^2 – 9} = \dfrac{3.2}{2(x + 3)(x – 3)} = \dfrac{6}{2(x + 3)(x – 3)}\)

b) Ta có: \(x^2 – 8x + 16 = (x – 4)^2; \,\, 3x^2 – 12x= 3x(x – 4)\)

Suy ra \(MTC = 3x(x – 4)^2\)

Khi đó:

\(\dfrac{2x}{x^2-8x + 16} = \dfrac{2x.3x}{(x – 4)^2.3x} = \dfrac{6x^2}{3x(x – 4)^2}\)

\(\dfrac{x}{3x^2 – 12x}= \dfrac{x.(x – 4)}{3x(x – 4)(x – 4)} = \dfrac{x(x – 4)}{3x(x – 4)^2}\)

Bài 16 trang 43 SGK Toán tập 1

a) Ta có \(MTC = (x – 1)(x^2 + x + 1)\)

Khi đó: 

\( \dfrac{4x^2 – 3x + 5}{x^3 – 1} = \dfrac{4x^2 – 3x + 5}{(x – 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(\dfrac{1 – 2x}{x^2 + x + 1} = \dfrac{(x – 1)(1 – 2x)}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} \)

\(-2 = \dfrac{-2(x – 1)(x^2 + x + 1)}{(x – 1)(x^2 + x + 1)} \)

b) Phân tích các mẫu ra thừa số

\(x + 2; \,\, 2x – 4 = 2(x – 2);\,\,3x – 6 = 3(x – 2)\)

Suy ra \(MTC = 6(x – 2)(x + 2)\)

Khi đó:

\(\dfrac{10}{x + 2} = \dfrac{10.6(x – 2)}{6(x – 2)(x + 2)} = \dfrac{60(x – 2)}{6(x – 2)(x + 2)}\)

\(\dfrac{5}{2x – 4}= \dfrac{5.3.(x + 2)}{2.(x – 2).3(x + 2)} = \dfrac{15(x + 2)}{6(x – 2)(x + 2)}\)

\(\dfrac{1}{6 – 3x} = \dfrac{-1}{3(x – 2)} = \dfrac{-1.2(x+ 2)}{3(x – 2).2(x + 2)} = \dfrac{-2(x+ 2)}{6(x – 2)(x + 2)}\)

Bài 17 trang 43 SGK Toán tập 1

Ta có: 

\(x^3 -6x^2 = x^2(x – 6)\)

\(x^2 – 36 = (x + 6)(x – 6)\)

Suy ra \(MTC = x^2(x + 6)(x – 6)\)

Vậy bạn Tuấn đã chọn đúng.

Bạn Lan đã làm như sau: 

\(\dfrac{5x^2}{x^3 – 6x^2} = \dfrac{5x^2}{x^2(x – 6)} = \dfrac{5}{x- 6}\)

\(\dfrac{3x^2 + 18x}{x^2 – 36} = \dfrac{3x(x + 6)}{(x + 6)(x – 6)} = \dfrac{3x}{x – 6}\)

Vậy bạn Lan cũng chọn đúng.

Bài tập quy đồng mẫu thức nhiều phân thức nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp bạn ôn tập và rèn luyện kiến thức đã học:

Bài 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a) \(\frac{25}{14x^3y}, \frac{14}{21xy^5}\)

b) \(\frac{11}{102x^4y}, \frac{3}{34xy^3}\)

c) \( \frac{3x+1}{12xy^4},\frac{y-2}{9x^2y^3}\)

d) \(\frac{1}{6x^3y^2}, \frac{x+1}{9x^2y^4}\),\frac{x-1}{4xy^3}

e) \(\frac{3+2x}{10x^4y}, \frac{5}{8x^2y^2}, \frac{2}{3xy^5}\)

f) \(\frac{4x-4}{2x(x+3)}, \frac{x-3}{3x(x+1)} \)

Bài 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a)\(\frac{7x-1}{2x^2+6x}, \frac{5-3x}{x^2-9} \)

b) \( \frac{x+1}{x-x^2}, \frac{x+2}{2-4x+2x^2}\)

c) \( \frac{4x^2-3x+5}{x^3-1}, \frac{2x}{x^2+x+1}, \frac{6}{x-1}\)

d) \( \frac{7}{5x}, \frac{4}{x-2y}, \frac{x-y}{8y^2-2x^2} \)

e) \( \frac{5x^2}{x^3 + 6x^2+12x+8}, \frac{4x}{x^2+4x+4}, \frac{3}{2x+4} \)

Bài 3: Cho đa thức \(B=2x^3+3x^2-29x+30\) và hai phân thức

\( \frac{x}{2x^2+7x-15}, \frac{x+2}{x^2+3x-10}

a) Chia đa thức \(B\) lần lượt cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho

b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.

Bài 4: Cho hai phân thức

\(\frac{1}{x^2-4x-5}\) và \(\frac{2}{x^2-2x-3}\)

Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức \(x^3-7x^2+7x+15\) làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức.

Bài 5: Quy đồng mẫu ba phân thức

\(\frac{x}{x^2-2xy+y^2-z^2}\), \frac{y}{y^2-2yx+x^2-x^2}, \frac{z}{z^2-2zx+x^2-y^2} \)

Ghi nhớ

Cách qui đồng mẫu thức nhiều phân thức:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Chúc các em học tôt và đạt điểm cao!