Lý thuyết rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, các dạng toán tập thường gặp. Hướng dẫn giải bài tập trang 32 và 33 SGK Toán 9 tập 1

rut gon bieu thuc chua can bac hai

Lý thuyết rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Các kiến thức quan trọng cần ghi nhớ:

   Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính trên các số thực nói chung và trên các căn thức nói riêng như:

– Phép nhân, phép chia các căn bậc hai;

– Phép khai phương một tích, một thương;

– Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn;

– Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn;

– Phép trục căn thức ở mẫu.

   Nói riêng, khi làm tính cộng hoặc trừ trên các căn thức, ta thường dùng các phép đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn để được những căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn rối áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ.

Ví dụ:

Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{x}{{x – 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4.\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{x}{{x – 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}} \\= \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  – 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 2}}\\ = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}\\= \dfrac{{x + \sqrt x  + 2 + \sqrt x  – 2}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \\= \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\\= \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} \\= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}}.\end{array}\)

Vậy $B= \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  – 2}}$ với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4.\)

4 dạng toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

– Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn
-Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau.

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

 Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan.

Phương pháp:

– Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn.

-Các bài toán liên quan :

+) Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến.

+) Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên

+) So sánh biểu thức với một số

+) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai.

Phương pháp:

Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản.

Giải bài tập rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Hướng dẫn giải bài tập trang 32 và 33 sách giáo khoa Toán 9 tập 1

Bài 58 trang 32 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có:

\(5\sqrt{\dfrac{1}{5}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{20}+\sqrt{5}\)

\(\eqalign{
& = \sqrt {{5^2}.{1 \over 5}} + \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}.20} + \sqrt 5 \cr 
& = \sqrt {25.{1 \over 5}} + \sqrt {{1 \over 4}.20} + \sqrt 5 \cr 
& = \sqrt {{{25} \over 5}} + \sqrt {{{20} \over 4}} + \sqrt 5 \cr 
& = \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 5 \cr 
& = \left( {1 + 1 + 1} \right)\sqrt 5 = 3\sqrt 5 \cr} \)

Câu b

Ta có: 

\(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}\)

\(\eqalign{
& = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {{9 \over 2}} + \sqrt {{{25} \over 2}} \cr 
& = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {9.{1 \over 2}} + \sqrt {25.{1 \over 2}} \cr 
& = \sqrt {{1 \over 2}} + \sqrt {3^2.{1 \over 2}} + \sqrt {5^2.{1 \over 2}} \cr 
& = \sqrt {{1 \over 2}} + 3\sqrt {{1 \over 2}} + 5\sqrt {{1 \over 2}} \cr 
& = \left( {1 + 3 + 5} \right).\sqrt {{1 \over 2}} \cr 
& = 9\sqrt {{1 \over 2}} = 9{1 \over {\sqrt 2 }} \cr 
& = 9.{{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2.\sqrt 2  }} = {{9\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Câu c

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {20} – \sqrt {45} + 3\sqrt {18} + \sqrt {72} \cr 
& = \sqrt {4.5} – \sqrt {9.5} + 3\sqrt {9.2} + \sqrt {36.2} \cr 
& = \sqrt {{2^2}.5} – \sqrt {{3^2}.5} + 3\sqrt {{3^2}.2} + \sqrt {{6^2}.2} \cr 
& = 2\sqrt 5 – 3\sqrt 5 + 3.3\sqrt 2 + 6\sqrt 2 \cr 
& = 2\sqrt 5 – 3\sqrt 5 + 9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 \cr 
& = \left( {2\sqrt 5 – 3\sqrt 5 } \right) + \left( {9\sqrt 2 + 6\sqrt 2 } \right) \cr 
& = \left( {2 – 3} \right)\sqrt 5 + \left( {9 + 6} \right)\sqrt 2 \cr 
& = – \sqrt 5 + 15\sqrt 2 = 15\sqrt 2 – \sqrt 5 \cr} \)

Câu d

Ta có:

\(\eqalign{
& 0,1\sqrt {200} + 2\sqrt {0,08} + 0,4.\sqrt {50} \cr 
& = 0,1\sqrt {100.2} + 2\sqrt {0,04.2} + 0,4\sqrt {25.2} \cr 
& = 0,1\sqrt {10^2.2} + 2\sqrt {0,2^2.2} + 0,4\sqrt {5^2.2} \cr 
& = 0,1.10\sqrt 2 + 2.0,2\sqrt 2 + 0,4.5\sqrt 2 \cr 
& = 1\sqrt 2 + 0,4\sqrt 2 + 2\sqrt 2 \cr 
& = \left( {1 + 0,4 + 2} \right)\sqrt 2 = 3,4\sqrt 2 \cr} \)  

Bài 59 trang 32 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Ta có: 

\(5\sqrt{a}-4b\sqrt{25a^{3}}+5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}\)

\(=5\sqrt a – 4b\sqrt{5^2.a^2.a}+5a\sqrt{4^2.b^2.a}-2\sqrt{3^2.a}\)

\(=5\sqrt a – 4b\sqrt{(5a)^2.a}+5a\sqrt{(4b)^2.a}-2\sqrt{3^2.a}\)

\(=5\sqrt a – 4b.5a\sqrt{.a}+5a.4b\sqrt{a}-2.3\sqrt{a}\)

\(=5\sqrt{a}-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a}-6\sqrt{a}\)

\(=(5\sqrt{a}-6\sqrt{a})+(-20ab\sqrt{a}+20ab\sqrt{a})\)

\(=(5-6)\sqrt a=-\sqrt{a}\)

Câu b

Ta có:

\(5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^{3}b}\)

\(=5a\sqrt{8^2.b^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{2^2.3.(ab)^2.ab}\)\(\,+2ab\sqrt{3^2.ab}-5b\sqrt{9^2.a^2.ab}\)

\(=5a\sqrt{(8b)^2.ab}-\sqrt{3}.\sqrt{(2ab)^2.3.ab}+2ab\sqrt{3^2.ab}\)\(\,-5b\sqrt{(9a)^2.ab}\)

\(=5a.8b\sqrt{ab}-\sqrt{3}.2\sqrt 3 ab\sqrt{ab}+2ab.3\sqrt{ab}\)\(\,-5b.9a\sqrt{ab}\)

\(=40ab\sqrt{ab}-2.3ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}\)

\(=40ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}\)

\(=40ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}\)

\(=(40-45)ab\sqrt{ab}\)

\(=-5ab\sqrt{ab}\). 

Bài 60 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

a) Ta có:

\(B= \sqrt{16x+16}-\sqrt{9x+9}+\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}\)

\(= \sqrt{16(x+1)}-\sqrt{9(x+1)}+\sqrt{4(x+1)}+\sqrt{x+1}\)

\(= \sqrt{4^2(x+1)}-\sqrt{3^2(x+1)}+\sqrt{2^2(x+1)}+\sqrt{x+1}\)

\(= 4\sqrt{x+1}-3\sqrt{x+1}+2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}\)

\(=(4-3+2+1)\sqrt{x+1}\) 

\(=4\sqrt{x+1}.\)

b) Ta có: 

\(B = 16 \Leftrightarrow 4\sqrt {x + 1}  = 16\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = {{16} \over 4} \cr
& \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = 4 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} = {4^2} \cr
& \Leftrightarrow x + 1 = 16 \cr
& \Leftrightarrow x = 16 – 1 \cr
& \Leftrightarrow x = 15(\text{thỏa mãn}\,x\ge -1) \cr} \)

Vậy với \(x=15\) thì \(B=16\).

Bài 61 trang 33 SGK Toán 9 tập 1

Câu a

Biến đổi vế trái ta có:

\( VT = \dfrac{3}{2}\sqrt 6+ 2\sqrt{\dfrac{2}{3}}-4\sqrt{\dfrac{3}{2}}\)

          \(=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt 3}-4\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\)

          \(=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 2\sqrt 3}{\sqrt 3 .\sqrt 3}-4.\dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 2}{\sqrt 2.\sqrt 2}\)

         \(=3\dfrac{\sqrt 6}{2}+2\dfrac{\sqrt 6}{3}-4\dfrac{\sqrt 6}{2}\)

         \(=3\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}+2\dfrac{\sqrt 6 .2}{3.2}-4\dfrac{\sqrt 6 .3}{2.3}\)

         \(=9\dfrac{\sqrt 6}{6}+4\dfrac{\sqrt 6}{6}-12\dfrac{\sqrt 6}{6}\)

         \(=(9+4-12)\dfrac{\sqrt 6}{6}=\dfrac{\sqrt 6}{6}=VP\).
         
Câu b

Biến đổi vế trái ta có: 

\(VT = \left( {x\sqrt {\dfrac{6}{x}}  + \sqrt {\dfrac{2x}{3}}  + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \)

         \(\eqalign{
& = \left( {x\sqrt {{{6x} \over {{x^2}}}} + \sqrt {{{2x.3} \over {{3^2}}}} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {x{{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{x^2}} }} + {{\sqrt {6x} } \over {\sqrt {{3^2}} }} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {x{{\sqrt {6x} } \over x} + {{\sqrt {6x} } \over 3} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {1.\sqrt {6x} + {1 \over 3}\sqrt {6x} + \sqrt {6x} } \right):\sqrt {6x} \cr 
& = \left( {1 + {1 \over 3} + 1} \right)\sqrt {6x} :\sqrt {6x} \cr 
& = {7 \over 3}\sqrt {6x} :\sqrt {6x} \cr 
& = \dfrac{7}{3} =VP.\cr} \)

Ghi nhớ

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta cần sử dụng thích hợp các phép biến đổi đơn giản đã học như: đưa thừa số vào trong dấu căn, đưa thừa số ra ngoài dấu căn… để xuất hiện các nhân tử chung.

   Trên đây là các kiến thức lý thuyết trọng tâm và giải bài tập biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc haiđược chúng tôi biên soạn. Chúc các em học tốt và luôn đạt được kết quả cao với môn toán lớp 9.