Lý thuyết rút gọn phân thức, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 39 và 40 SGK Toán 8 tập 1.

Lý thuyết rút gọn phân thức

Các kiến thức cần ghi nhớ:

Qui tắc rút gọn phân thức

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:

– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

Chú ý

Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.

Bài tập rút gọn phân thức

Hướng dẫn giải toán 8 trang 39 và 40 sách giáo khoa:

Bài 7 trang 39 SGK Toán 8 tập 1

a) \(\dfrac{6x^2y^2}{8xy^5} = \dfrac{2.3.x.x.y^2}{2.4.x.y^2.y^3} = \dfrac{3x}{4y^3}\)

b) \(\dfrac{10xy^2(x + y)}{15xy(x + y)^3} \)

\(= \dfrac{2.5xy.y(x + y)}{3.5xy(x + y)^2.(x + y)} \)

\(= \dfrac{2y}{3(x + y)^2}\)

c) \(\dfrac{2x^2 + 2x}{x + 1} = \dfrac{2x(x + 1)}{x + 1} = 2x\)

d) \(\dfrac{x^2 – xy – x + y}{x^2 + xy – x – y}\)

\(= \dfrac{(x^2 – x) – (xy – y)}{(x^2 – x) + (xy – y)}\)

\(= \dfrac{x(x – 1) – y(x – 1)}{x(x – 1) + y(x – 1)}\)

\(= \dfrac{(x – 1)(x – y)}{(x – 1)(x + y)}\)

\(= \dfrac{x – y}{x + y}\)

Bài 8 trang 40 SGK Toán 8 tập 1

a) \( \dfrac{3xy}{9y} = \dfrac{x}{3}:\) Đúng, vì đã chia cả từ và mẫu của vế trái cho \(3y\)

b) \(\dfrac{3xy + 3}{9y + 3} = \dfrac{x}{3}:\) Sai,  vì chưa phân tích tử và mẫu ra thừa số đã vội rút gọn hạng tử ở mẫu với hạng tử ở tử của phân thức.

Làm đúng như sau:
 
\(\dfrac{3xy + 3}{9y + 3} = \dfrac{3(xy + 1)}{3(y + 1)} = \dfrac{xy + 1}{y + 1}\)

c) \(\dfrac{3xy + 3}{9y + 9} = \dfrac{x + 1}{3 + 3} = \dfrac{x + 1}{6}:\) Sai, vì chưa phân tích tử và mẫu ra thừa số đã vội rút gọn hạng tử ở mẫu với hạng tử ở tử của phân thức.

Làm đúng như sau:
 
\(\dfrac{3xy + 3}{9y + 9} = \dfrac{3(xy + 1)}{3(3y + 3)} = \dfrac{xy + 1}{3y + 3}\)

d) \(\dfrac{3xy + 3x}{9y + 9} = \dfrac{x}{3}:\) Đúng, nhưng lời giải quá gọn, có thể hiểu lầm cách giải

Nên làm như sau:

\(\dfrac{3xy + 3x}{9y + 9} = \dfrac{3x(y + 1)}{9.(y + 1)} = \dfrac{x}{3}\)

Bài 9 trang 40 SGK Toán 8 tập 1

a) \(\dfrac{36(x – 2)^3}{32 – 16x} = \dfrac{36(x – 2)^2(x – 2)}{-16(x – 2)} = -\dfrac{9(x – 2)^2}{4}\)

b) \(\dfrac{x^2 – xy}{5y^2 – 5xy} = \dfrac{x (x – y)}{5y(y – x)} = \dfrac{x(x – y)}{-5y(x – y)} = -\dfrac{x}{5y}\)

Bài 10 trang 40 SGK Toán 8 tập 1

\(\dfrac{x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1}{x^2 – 1}\)

\(= \dfrac{(x^7 + x^6 + x^5 + x^4) + (x^3 + x^2 + x + 1)}{x^2 – 1}\)

\(= \dfrac{x^4(x^3 + x^2 + x + 1) + (x^3 + x^2 + x + 1)}{x^2 – 1}\)

\(= \dfrac{(x^3 + x^2 + x + 1)(x^4 + 1)}{x^2 – 1}\)

\(=\dfrac{[x^2(x + 1) + (x + 1)](x^4 + 1)}{x^2 – 1}\)

\(= \dfrac{(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)}{(x + 1)(x – 1)}\)

\(= \dfrac{(x^2 + 1)(x^4 + 1)}{x – 1}\)

Bài tập rút gọn phân thức nâng cao

Các bài tập giúp bạn ôn tập và rèn luyện kiến thức đã học:

Bài 1: Rút gọn các phân thức

a) \( \frac {14xy^5 (2x-3y)}{21x^2y(2x-3y)^2} \)

b) \( \frac {8xy(3x-1)^3}{12x^3(1-3x)}\)

c) \( \frac {20x^2-45} {(2x+3)^2}

d) \( \frac {5x^2-10xy} {2 (2y-x)^3}

e) \( \frac{80x^3-125x} {3(x-3)-(x-3)(8-4x)} \)

f) \( \frac{9-(x+5)^2}{x^2+4x+4}

g) \( \frac {32x-8x^2+2x^3}{x^3 + 64} \)

f) \( \frac {5x^3 + 5x} {x^4 -1}\)

g) \( \frac {x^2+5x+6} {x^2+4x+4}\)

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau

a) \( \frac {x^2y +2xy^2 +y}{2x^2+xy-y^2} = \frac {xy + y^2}{2x-y} \)

b) \( \frac {x^2+3xy+2y^2} {x^3+2x^2y-xy^2-2x^3} = \frac {1}{x – y} \)

Bài 3: Cho hai phân thức \( \frac {x^3-x^2-x+1} {x^4-2x^2+1} }\), \( \frac {5x^3+10x^2+5x} {x^3+3x^2+3x+1} \). Theo bài tập 8, có vô số cặp số phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc tháp nhất.

Bài 4: Tìm \(x\), biết

a) \(a^2x + x = 2a^4-2 \) với \(a\) là hằng số;

b) \(a^2x +3ax+9 =a^2 \) với \(a\) là hằng số, \( a \neq 0 \) và \( a \neq -3 \) 

Ghi nhớ

Quy tác rút gọn phân thức: Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:

– Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung

– Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau.

Chúc các bạn học tốt và luôn đạt điểm cao…!