Lý thuyết tính chất cơ bản của phân thức, các dạng toán, bài tập nâng cao và hướng dẫn giải bài tập trang 36 SGK Toán 8 tập 1.

Lý thuyết tính chất cơ bản của phân thức

Các kiến thức cơ bản cần ghi nhớ:

Tính chất 

– Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A.M}{B.M}\) ( \(M\) là một đa thức khác đa thức \(0\))

– Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A : N}{B : N}\) ( \(N\) là một nhân tử chung)

Qui tắc đổi dấu

 Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{-A}{-B}\)

Bài tập tính chất cơ bản của phân thức

Hướng dẫn giải toán 8 trang 38 (Bài tập trang 38 SGK Toán 8 tập 1)

Bài 4 trang 38 SGK toán 8 tập 1

a) \( \dfrac{x + 3}{2x – 5}= \dfrac{x(x + 3)}{(2x – 5)x}= \dfrac{x^{2} + 3x}{2x^{2}- 5x}\) Lan viết đúng

b) \( \dfrac{(x + 1)^{2}}{x^{2}+ x}= \dfrac{(x + 1)^{2}}{x(x + 1)}\)

\(=\dfrac{{{{(x + 1)}^2}:\left( {x + 1} \right)}}{{x(x + 1):\left( {x + 1} \right)}}= \dfrac{x + 1}{x}\) 

Hùng viết sai vì đã chia tử của vế trái cho nhân tử chung \(x + 1\) thì cũng phải chia mẫu của nó cho \(x + 1\). Sửa lại là:

\( \dfrac{(x + 1)^{2}}{x^{2}+ x}= \dfrac{x + 1}{x}\) hoặc \( \dfrac{(x + 1)^{2}}{x + 1}= \dfrac{x + 1}{1}\)

c) \( \dfrac{4 – x}{-3x}= \dfrac{-(4 – x)}{-(-3x)}= \dfrac{x – 4}{3x}\) Giang viết đúng

d) \((x – 9)^3= (-(9 – x))^3= -(9 – x)^3\)

Do đó:

\( \dfrac{(x – 9)^{3}}{2(9 – x)} = \dfrac{-(9 – x)^{3}}{2(9 – x)}\)

\(= \dfrac{{ – {{(9 – x)}^3}:\left( {9 – x} \right)}}{{2(9 – x):\left( {9 – x} \right)}}= \dfrac{-(9 – x)^{2}}{2}\)

Suy ra Huy viết sai.

 Sửa lại: \( \dfrac{(x – 9)^{3}}{2(9 – x)} = \dfrac{-(9 – x)^{2}}{2}\) hoặc \( \dfrac{(x – 9)^{3}}{2(9 – x)} = \dfrac{(9 – x)^{2}}{-2}\) hoặc \( \dfrac{(9 – x)^{3}}{2(9 – x)}= \dfrac{(9 – x)^{2}}{2}\)

Bài 5 trang 38 SGK toán 8 tập 1

a) \(\dfrac{x^3 + x^2}{(x – 1)(x + 1)} \)

\(= \dfrac{x^2(x + 1)}{(x – 1)(x + 1)}\)

\(= \dfrac{x^2}{x – 1}\)

Vậy phải điền \(x^2\) vào chỗ trống.

b) \(\dfrac{5(x + y)}{2} \)

\(= \dfrac{5(x + y)(x – y)}{2(x – y)} \)

\(= \dfrac{5(x^2 – y^2)}{2(x – y)}\)

\(= \dfrac{5x^2 – 5y^2}{2(x – y)}\)

Vậy phải điền \(2(x – y)\) vào chỗ trống

Bài 6 trang 38 SGK toán 8 tập 1

Ta có: \(x^2-1=(x-1)(x+1)\)

Vế phải chứng tỏ đã chia mẫu của vế trái cho \(x – 1\)

Vậy phải chia tử của vế trái \(x^5– 1\) cho \(x – 1\)

bai 6 trang 38 sgk toan 8 tap 1

Suy ra \(x^5-1=({x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1)(x-1)\)

Ta có:

\( \dfrac{x^{5}- 1}{x^{2}- 1}= \dfrac{({x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1)(x-1)}{(x + 1)(x-1)}\)

\(= \dfrac{({x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1)(x-1):(x-1)}{(x + 1)(x-1):(x-1)}\)

\(= \dfrac{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}{x + 1}\)

Vậy phải điền vào chỗ trống :  \({x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1\)

Bài tập tính chất cơ bản của phân thức nâng cao

Các bài tập nâng cao giúp các em ôn tập kiến thức và rèn luyện kiến thức đã học

Bài 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

a) \( \frac{x-x^2}{5x^2 -5} = \frac {x}{…}

b) \( \frac {x^2 + 8}{2x-1} = \frac {3x^3+24x}{…}

c) \(\frac {…}{x-y}= \frac {3x^2-3xy} {3(y-x)^2} \)

d) \(\frac {-x^2+2xy-y^2}{x+y} = \frac{…}{y^2-x^2}

Bài 2: Biến đổi mỗi phân thức sua thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức \(A\) cho trước:

a) \frac{4x+3}{x^2-5}, A=12x^2 +9x \)

b) \(\frac{8x^2-8x+2}{(4x-2)(15-2)}, A=1-2x \)

Bài 3: Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức:

a) \(\frac {3}{x+2}\) và \( \frac{x-1}{5x}

b) \( \frac{x+5}{4x} \) và  \( \frac {x^2 -25} {2x + 3}

Bài 4: Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:

a) \(\frac {3x}{x-5} \) và \( \frac {7x+2}{5-x} \)

b) \( \frac {4x}{x+1} \) và \(\frac {3x}{x-1} \)

c) \( \frac {2}{x^2 + 8x +16 }\) và \( \frac {x-4}{2x+8} \)

d) \( \frac {2x}{(x+1)(x-3)} \) và \( \frac {x+3}{(x+1)(x-2)}

Bài 5: Chi hai phân thức \(\frac {A}{B}\) và \( \frac {C}{D}\). Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng \( \frac {A’}{E}\) và \( \frac {C’}{E} \) thỏa mãn điều kiện \( \frac {A’}{E} = \frac {A}{B}\) và \( \frac {C’}{E} = \frac {C}{D} \)

Ghi nhớ

Tính chất cơ bản của phân thức

– Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức không thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A.M}{B.M}\) ( \(M\) là một đa thức khác đa thức \(0\))

– Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.

\( \dfrac{A}{B}= \dfrac{A : N}{B : N}\) ( \(N\) là một nhân tử chung) 

Chúc các em học tốt…!